Метод на Грам-Шмид

[Гост]

С метода на Грам-Шмид да се ортогонализира системата вектори а1(1, 0, 1), а2(-1, 1, -1), а3(2, 1, 1).

Отговор: v1(1, 0, 1), v2(0, 1, 0), v3(1/2, 0, -1/2)

[ammornil]

С метода на Грам-Шмид да се ортогонализира системата вектори а1(1, 0, 1), а2(-1, 1, -1), а3(2, 1, 1).

Отговор: v1(1, 0, 1), v2(0, 1, 0), v3(1/2, 0, -1/2)

[tex]u_{1}=a_{1}=(1,0,1)\\[12pt] proj_{u_{1}}(a_{2})=\dfrac{a_{2}\bullet{}u_{1}}{u_{1}\bullet{}u_{1}}\cdot{}u_{1}=\cdots{} \Rightarrow u_{2}=a_{2}-proj_{u_{1}}(a_{2}) \\[12pt] proj_{u_{1}}(a_{3})=\dfrac{a_{3}\bullet{}u_{1}}{u_{1}\bullet{}u_{1}}\cdot{}u_{1}=\cdots{} \Rightarrow u_{3}=a_{3}-proj_{u_{1}}(a_{3})[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]\\[12pt] proj_{u_{1}}(a_{2})=\dfrac{a_{2}\bullet{}u_{1}}{u_{1}\bullet{}u_{1}}\cdot{}u_{1}=\dfrac{-1\cdot{}1+1\cdot{}0+(-1)\cdot{}1}{1\cdot{}1+0\cdot{}0+1\cdot{}1}\cdot(1,0,1)=\dfrac{-2}{2}\cdot{}(1,0,1)=-1\cdot{}(1,0,1)=(-1,0,-1) \\ \quad \Rightarrow u_{2}=a_{2}-proj_{u_{1}}(a_{2})=(-1,1,-1)-(-1,0,-1)=(0, 1, 0) \\[12pt] proj_{u_{1}}(a_{3})=\dfrac{a_{3}\bullet{}u_{1}}{u_{1}\bullet{}u_{1}}\cdot{}u_{1}=\dfrac{2\cdot{}1+1\cdot{}0+1\cdot{}1}{1\cdot{}1+0\cdot{}0+1\cdot{}1}\cdot(1,0,1)=\dfrac{3}{2}\cdot{}(1,0,1)=\left(\dfrac{3}{2},0,\dfrac{3}{2}\right) \\ \quad \Rightarrow u_{3}=a_{3}-proj_{u_{1}}(a_{3})=(2,1,1)-\left(\dfrac{3}{2},0,\dfrac{3}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2},1,-\dfrac{1}{2}\right)[/tex]

$$ u_{1}=(1,0,1), \quad u_{2}=(0,1,0), \quad u_{3}= \left(\dfrac{1}{2},1,-\dfrac{1}{2}\right)$$

Скрит текст: покажи

[tex]\bullet[/tex] обозначава скаларно произведение на вектори, [tex]\quad \cdot{}[/tex] обозначава обикновено умножение