Рационализиране на дроб с комплексни числа

[skullbones]

[tex]\sqrt[5]{\frac {2\sqrt{3} - 2i}{-1 + i} }[/tex]

Здравейте, аз съм нов във форума. От скоро станах студент и уча висша математика, но още не са ми много ясни работите. Моля някой да помогне за задачата. Благодаря

[prodanov]

[tex]\sqrt[5]{\frac {2\sqrt{3} - 2i}{i - 1} . \frac{i+1}{i+1}}[/tex]

[tex]\sqrt[5]{2\frac{(\sqrt3 - i)(i+1)}{i^2 - 1} } = \sqrt[5]{\cancel2\frac{(\sqrt3 - i)(i+1)}{-\cancel2} } = -\sqrt[5]{(\sqrt3 - i)(i+1)}[/tex]

[allier]

Този корен 5-ти трябва да се сметне все пак ...

[prodanov]

Няма ги тия формули в учебника за 12ти и все забравям.

[tex]-\sqrt[5]{2\sqrt2(\frac{\sqrt3}{2} - \frac{1}{2}i)(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i)} = -\sqrt[5]{2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{3}}e^{i\frac{\pi}{4}}}[/tex]

[tex]= -e^{i\frac{\pi}{15}}e^{i\frac{\pi}{20}}\sqrt[5]{\sqrt{2^3}} = -(e^{i\frac{\pi}{2}})^{\frac{2}{15}}(e^{i\frac{\pi}{2}})^{\frac{2}{20}}\sqrt[10]{2^3} = -i^{\frac{2}{15}}i^{\frac{2}{20}}\sqrt[10]{8} = -\sqrt[15]{-1}\sqrt[20]{-1}\sqrt[10]{8} = \sqrt[10]{8i}[/tex]

Ще може ли някой да потвърди дали е вярно?

[Flame]

Няма ги тия формули в учебника за 12ти и все забравям.

[tex]-\sqrt[5]{2\sqrt2(\frac{\sqrt3}{2} - \frac{1}{2}i)(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i)} = -\sqrt[5]{2\sqrt2e^{i\frac{\pi}{3}}e^{i\frac{\pi}{4}}}[/tex]

[tex]= -e^{i\frac{\pi}{15}}e^{i\frac{\pi}{20}}\sqrt[5]{\sqrt{2^3}} = -(e^{i\frac{\pi}{2}})^{\frac{2}{15}}(e^{i\frac{\pi}{2}})^{\frac{2}{20}}\sqrt[10]{2^3} = -i^{\frac{2}{15}}i^{\frac{2}{20}}\sqrt[10]{8} = -\sqrt[15]{-1}\sqrt[20]{-1}\sqrt[10]{8} = \sqrt[10]{8i}[/tex]

Ще може ли някой да потвърди дали е вярно?

Както казва nikko работите с форума вървят на зле...
Търси формули на Моавър за коренуване!!!

[prodanov]

Прав си, но недей ме съпоставя с целият форум, не съм го учил все още в училище. Опитвам се да ги науча, защото са ми интерестни и не ми се чака края на годината. Използвах че [tex]cos\varphi + i. sin\varphi =e^{i\varphi }[/tex] от тук, но уви изглежда не винаги има приложение. Мерси все пак!

[allier]

Prodanov, за съжаление комплексни числа не се учат в училище .... Иначе, добре си се справил с формулата - единият ти ъгъл е грешен, обаче - [tex]\frac{\pi }{3 }[/tex] трябва да го промениш. Също така, когато има коренуване, се получават толкова на брой отговори, колкото е степента на корена, т.е. 5 в случая.

Ето ти един пример - [tex]x^2=-1[/tex] има два корена i и -i. Формулата за коренуване се променя в ето този вид:

[tex]\sqrt[n]{r.e^{i\varphi }} = \sqrt[n]{r}.e^{i(\frac{\varphi+2k\pi}{n })}[/tex], за k=0,1,...,n-1.

[skullbones]

И в крайна сметка не видях решение на задачата