Доказателство за колинеарност

[kris4ans]

Добър ден.Първи курс съм и някой неща не ми са ясни ако може да ме насочите към решение на следната задача.

Точките M и N лежат съответно върху страните AB и BC на ΔABC , като AM : MB = BN : NC
= 2 : 1 . Точките E и F са среди съответно на AB и BC. Докажете, че E, F и средата на MN са
колинеарни.

[L.e.o]

Нека точка А(0,0), В(m+1,0), С(p,q), M(m,0).
Tъй като ЕF || AC, a E e среда на АВ, то веднага можем да напишем у-ето на правата през ЕF:
[tex]y(x) = \frac{q}{p }(x - \frac{m+1}{2 })[/tex]
С малки сметки или почти наум се намират координатите на точка N (p+ (m+1-p)/m+1 , qm/(m+1))
Сега като знаеш координатите на М и N, лесно можеш да намериш координатите на средата на тази отсечка - т.0
Хо = (Хm+Xn)/2 , Yо = (Ym+Yn)/2
Вече сме намерили Xo и Yo.
Заместваме с Xo в y(x). Ako y(Xo) = Yo, то значи т.0 лежи на правата ЕF.

Давай сам.

[kris4ans]

Нека точка А(0,0), В(m+1,0), С(p,q), M(m,0).
Tъй като ЕF || AC, a E e среда на АВ, то веднага можем да напишем у-ето на правата през ЕF:
[tex]y(x) = \frac{q}{p }(x - \frac{m+1}{2 })[/tex]
С малки сметки или почти наум се намират координатите на точка N (p+ (m+1-p)/m+1 , qm/(m+1))
Сега като знаеш координатите на М и N, лесно можеш да намериш координатите на средата на тази отсечка - т.0
Хо = (Хm+Xn)/2 , Yо = (Ym+Yn)/2
Вече сме намерили Xo и Yo.
Заместваме с Xo в y(x). Ako y(Xo) = Yo, то значи т.0 лежи на правата ЕF.

Давай сам.

Мерси но това ме обърка още повече няма ли някой по-лесен начин.Задачата е от линейни действия със свободни вектори а не си спомням да сме решавали по този начин на упражненията.

[L.e.o]

Извинявай. Моето решение е с аналатична геометрия. (и до там ще стигнеш след ЛА-то, едно време ЛААГ беше 1 изпит)

[seppen]

Значи е за Аналитична геометрия.
Ако P е средата на MN.
[tex]A(a_x, a_y), B(b_x, b_y), C(c_x, c_y)[/tex]
Пробвай да докажеш, че съществува число q, така че [tex]\vec{EP}=q \vec{EF}[/tex]
Което ще рече, че векторите са колинеарни.
Намираш координатите на M, N, E, F, P.
[tex]\frac{2}{3}\vec{AM}=\vec{AB}[/tex]
[tex]\frac{2}{3}(M-A)=B-A[/tex]
[tex]M=\frac{3}{2}B-\frac{1}{2}A[/tex]
Това е зависимостта. Аналогично намираш N.
E=(A+B)/2 - и другите по тоя начин.
И само смяташ натам.

То и сега на някои места си има ЛААГ.