Векторен анализ. Скаларен потенциал.

[crashoverride]

Привет и благодаря предварително за помощта
Така, задачката е следната:
Дадено е полето F: [tex]F(x,y,z)=(3x^2y^3z^3 , 3y^2x^3z^3 , 3z^2x^3y^3)[/tex]

Търси се скаларният потенциал u на полето F, за който [tex]u(0,0,0)=e+\pi[/tex]

Още веднъж благодаря за помощта!
P.S. Полето е потенциално, т.е. циркулацията: [tex]\oint_{S} (Pdx+Qdy+Rdz)=0[/tex]

[pipi langstrump]

Трябва да решиш системата [tex]\vec{F} = \operatorname{grad}U[/tex], т.е.:
[tex]\frac{\part{U}}{\part{x}} = 3x^2y^3z^3[/tex]
[tex]\frac{\part{U}}{\part{y}} = 3y^2x^3z^3[/tex]
[tex]\frac{\part{U}}{\part{z}} = 3z^2y^3x^3[/tex]

С просто око се вижда, че [tex]U(x,y,z) = x^3y^3z^3 + C[/tex]
От началното условие се определя константата.

[Flame]

Привет и благодаря предварително за помощта
Така, задачката е следната:
Дадено е полето F: [tex]F(x,y,z)=(3x^2y^3z^3 , 3y^2x^3z^3 , 3z^2x^3y^3)[/tex]

Търси се скаларният потенциал u на полето F, за който [tex]u(0,0,0)=e+\pi[/tex]

Още веднъж благодаря за помощта!
P.S. Полето е потенциално, т.е. циркулацията: [tex]\oint_{S} (Pdx+Qdy+Rdz)=0[/tex]

Имаме доказателство, че даденото векторно поле е потенциално вследствие на, което съществува потенциалнa функция, която го описва [tex]U(x,y,z)[/tex].

Ако е дадено потенциалното поле:

[tex]\vec{F}(x,y,x)= P(x,y,z)\vec{k}+Q(x,y,z)\vec{k}+R(x,y,z)\vec{k}[/tex], то

[tex]U(x,y,z)=\int_{x_0}^{x}P(\xi,x_0,y_0)d\xi+ \int_{y_0}^{y}Q(x,\eta,z_0)d\eta+\int_{z_0}^{z}R(x,y,\zeta)d\zeta[/tex]
В нашия случай положението е следното:

[tex]U(x,y,z)=\int_{x_0}^{x}3 \xi^2y_0^3z_0^3d\xi+ \int_{y_0}^{y}3\eta^2x^3z_0^3d\eta+\int_{z_0}^{z}3\zeta^2x^3y^3d\zeta[/tex]

[tex]U(x,y,z)=(x^3y_0^3z_0^3-x_0^3y_0^3z_0^3)+(x^3y^3z_0^3-x^3y_0^3z_0^3)+(x^3y^3z^3-x^3y^3z_0^3)[/tex]


[tex]U(x,y,z)=x^3y^3z^3-x_0^3y_0^3z_0^3 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]U(x,y,z)=x^3y^3z^3+C[/tex] От началното условие намираме [tex]C[/tex].

[tex]U(x,y,z)=x^3y^3z^3+e+\pi[/tex]

[crashoverride]

Благодаря много