Формули на Виет и собствени стойности

[ferry2]

Нека [tex]A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}& a_{12}& ... & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ... & a_{nn}\\\end{array}\right)[/tex] e [tex]n\times n[/tex] матрица, [tex]E=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 0 & ... & 0\\ 0 & 1 & ... & 0\\ ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & ... & 1\\\end{array}\right)[/tex] и [tex]\det(A-\lambda E)=0[/tex], където [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex].

Като използвате формулите на Виет докажете, че [tex]\det(A)=\lambda_{1}\lambda_{2}...\lambda_{n}[/tex].

Този факт е очевиден за [tex]\lambda =0[/tex], интересува ме доказателството за общия случай.

[martin.nikolov]

Свободния коефициент на полинома [tex]P(\lambda)= \det (A-\lambda E)[/tex] е [tex]P(0)= \det (A)[/tex]. От друга страна формулите на Фиет ти казват каква е връзката между корените и коефициентите на полинома.

[seppen]

А най-високата степен е [tex]\normal (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)... (a_{nn}-\lambda)= (-1)^n \lambda^n +...[/tex]

Ако забравим за Виет - Като имаме n собтвени стойности, това не означава ли, че A в някакъв базис от собствени вектори е диагонална и [tex]\normal \det(A')=\det(A)[/tex]?(което пак решава задачата) Питам, защото съм ги позабравила.

Готина задача, откъде я изкопа?

[martin.nikolov]

Не е нужно собствените стойности да са различни. И тогава матрицата може и да не е диагонализируема.

[ferry2]

Задачата ни я дадоха по Числени методи.