Линейна зависимост на вектори

[Chet]

Здравейте!
Надявам се да можете да ми помогнете. Имам задача да определя линейно зависими или линейно независими са векторите:
[tex]A_1=(3,-1,2,4)[/tex]
[tex]A_2=(-1,4,5,-6)[/tex]
[tex]A_3=(5,6,7,-8)[/tex]
[tex]A_4=(5,2,9,2)[/tex]
Решавал съм задачи с 3 3-мерни вектора, но с 4 4-мерни нещо не мога да се справя... Благодаря предварително

[allier]

Ако си учил матрици и детерминанти, е лесно ... Сметни само 4x4 детерминантата и виж дали е 0. Ако е 0, са зависими, иначе не са.

Ако не си учил детерминанти, направи си матрицата и с елементарни операции (изваждане и събиране на редове, умножение с число) я трансформирай в матрица само с 0-ли под главния диагонал. Ако на главния диагонал в тази крайна матрица има 0-ла, то тогава са зависими, иначе не са.

Ако пък и матрици не си учил, тогава вече няма спасение.

[Chet]

Учил съм матрици и детерминанти, но мислех, че има решение със някакви знания преди те да се учат.
Мерси много за помощта

[ptj]

Учил съм матрици и детерминанти, но мислех, че има решение със някакви знания преди те да се учат.
Мерси много за помощта

Наистина има такава възможност, използвайки директно определението. Ако са линейно независими всеки произволен вектор ще се представя по единствен начин посредством базовите ти 4-тири вектора.
В частност това е еквиваленто нулевия вектор да се представя по единствен начин чрез тях (като всички коефициенти да са 0).
[tex]x_1.\vec {A_1} +x_2.\vec {A_2}+x_3.\vec {A_3}+x_4.\vec{A_4}=\vec 0[/tex]
или
[tex]\begin{cases}
3x_1-x_2+5x_3+5x_4=0\\
-x_1+4x_2+6x_3+2x_4=0\\
2x_1+5x_2+7x_3+9x_4=0\\
4x_1-6x_2-8x_3+2x_4=0
\end{cases}[/tex]

Ако единственото решение на системата е (0;0;0;0), то 4-те вектора са линейно независими. (При съществуването на кое да е друго решение са линейно зависими.)

П.П. Т.е. може да реши и само с елементарни знания за решаване на системи, но все пак се изисква малко теория за "линейна зависимост". Иначе предложените от "allier" начини са по-бързи и по-често прилагани.

[allier]

Да де, ама за да се реши системата, трябват пак матрици и/или детерминанти. Иначе директно да се реши със заместване ще отнеме половин година писане.

[martin.nikolov]

Не е нужно да се решава със заместване, може и с елиминиране. Второто уравнение по 3 прибавено към първото, второто по 2 към третото, воторото по 4 към четвъртото, и са останали триуравнение с три неизвестни. Още малко и готово.