Неразложим полином над Q

[n0_m0r3_pa1n]

Здравейте!
Имам една задача от курсова работа, за която искам да попитам просто как да я започна. Не искам наготово отговори, а просто я помъчих до сега, но не мога да измисля много неща. Та ако може да ме упътите.. Трябва да докажа, че полиномът е неразложим над Q, а ето го самия полином:
[tex]f(x) = x^{4} - 3x^{3} + x^{2} -2x +2[/tex]
Та първо пробвах чрез схемата на Хорнер чрез делителите на 2-ката т.е. [tex]\pm 1 , \pm 2[/tex] , но не се получава и от тук сигурно трябва да значи, че полиномът е неразложим над Q или е разложим на полиноми от втора степен ?
Но не знам какво да го правя ако приемем, че е разложим на полиноми от втора степен ? [tex](x^{2} + ax + b)*(x^{2} + cx +d)[/tex] Да разкрия скобите и да приравня коефициентите ли ? Получават ми се доста тежки сметки, които..не знам дали и живот ще ми стигне да ги сметна.. Или да пробвам по формулите на Виет ? Малко съм останал без много идеи и не знам какво да направя... Ще съм благодарен на всякаква помощ Предполагам, че решението ще е просто, но... А и може би тези разсъждения със схемата на Хорнер не са от най-правилните.. Който се сеща за нещо и помогне ще съм му адски благодарен

[n0_m0r3_pa1n]

Всъщност..май съм доста глупав..
То ние имаме дадени b и d. И става..
[tex](x^{2} + ax + 1)(x^{2} + bx + 2)[/tex]
След разкриването и приравняването на коефициентите имаме:
[tex]a+b = -3[/tex]
[tex]ab+3 = 1[/tex]
[tex]2a+b = -2[/tex]
От [tex]a = \frac{-2}{b}[/tex] и [tex]b = -2 - a[/tex] => [tex]a= \frac{-2}{(-2-a)}[/tex] => [tex]a^{2} + 2a - 2 = 0, D = 12[/tex] => Стойностите на коефициента a не принадлежат на Q, а на R => не е възможно изразът да се разложи в Q ? Или да направя същото за b и да го докажа и за него и тогава следва, че е неразложим ?

[seppen]

Не съм сигурна дали това е достатъчно. [tex]b=\pm 1, \pm 2[/tex], но не знам откъде идва точно това. Вероятно има теорема по въпроса.
Аз така направих:
Като разпиша по МНК и замествам тук-там става [tex]b^2+b(-c^2-3c-1)+2=0[/tex]. На това уравнение, рационални корени могат да са [tex]\pm 1, \pm 2[/tex], но след като заместим се вижда, че за тези стойности на b, c не е рационално. Оттук следва, че не става да е на 2 квадратни множителя и понеже вече си написал, че не е от вида (x-a)(x^3...) е неразложим над Q. Иска ми се и мен да има нещо по-кратко.

[Saposto_MM]

Виж тук. От тук следва, че ако има реални корени, те са [tex]\pm1,\pm2[/tex]. Заместваш и не получаваш 0. Може да има и други походи, но не мисля, че има нужда да се използват при тази задача.

[seppen]

Неразложим над Q ще рече, че не може да се представи като произведение на полиноми, с коефициенти от Q.
Не е достатъчно, в случая, да няма рационални корени. Ако се представя например (x^2+x+1)(x^2+1) пак е разложим над Q, защото x^2+x+1 и x^2+1 са с рационални коефициенти.
И на мен това определение ми звучи завъртяно, ама математиците така са го измислили.

[inveidar]

Всъщност..май съм доста глупав..
То ние имаме дадени b и d. И става..
[tex](x^{2} + ax + 1)(x^{2} + bx + 2)[/tex]

Не става така! Тези b и d могат да бъдат не само цели числа! Хубаво е когато става с целите, но когато нестава не означава, че няма дробни такива, или ирационални! Просто трябва да си решаваш системката за a,b,c,d , колкото и страшно да ти се вижда това. И по някакъв начин от тази система да стигнеш до уравнение с едно неизвестно, което няма решение или до нещо от сорта на сбор на квадрати и положително равен на нула и т. н. Просто трябва да се помъчиш малко повече! Това е положението!

[mupo123]

Един от методите на доказване е допускане на противното.Тук в условието ти е казано

да докажа, че полиномът е неразложим над Q

Нека допуснем,че е разложим над Q.Не знам дали си го учил това ,но има теорема която гласи следното:"Ако даден полином(с цели коефициенти) е разложим над множеството на рационалните числа(Q),то той е разложим и над множеството на целите числа(Z)" Ние проверихме,че този полином е неразложим над множеството на целите числа. От тук следва,че имаме противоречие с теоремата,което значи,че полиномът не е разложим в Q.

п.п Най-напред изходи от това,че полиномът е неразложим в Z.Предполагам,че ще го направиш чрез....М...Н...К!!!!

[allier]

Това не е съвсем вярно. По-скоро обратната посока - ако е разложим над Z, е разложим над Q.

[mupo123]

Това не е съвсем вярно. По-скоро обратната посока - ако е разложим над Z, е разложим над Q.

Защо мислиш така?Знаеш ли каква е наредбата на множествата? По принцип Z е подмножество на Q,смисъл ... всяко 'a' от Z се представя като а/1(което си е рац.число),където 'a' е цяло число и очевидно 1 е такова(дефиницията за рац. число).

[allier]

Еми хайде тогава разложи [tex](x-\frac{1}{2 })(x-\frac{1}{3 })[/tex] в Z, след като вече е разложено в Q.

Теоремата може би гласи, че полином от Z, разложим в Q, е разложим и в Z. Тогава вече има смисъл.

[martin.nikolov]

Теоремата (на Гаус) е, че ако полином с цели коефициенти е разложим над рационалните числа, той е разложим и над целите. И по-общо за област с еднозначно разлагане и полето й от частни.

[mupo123]

Еми хайде тогава разложи [tex](x-\frac{1}{2 })(x-\frac{1}{3 })[/tex] в Z, след като вече е разложено в Q.

Теоремата може би гласи, че полином от Z, разложим в Q, е разложим и в Z. Тогава вече има смисъл.

Да,но този полином,първоначалният не е с цели коефициенти полиномът е [tex]x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{1}{6}[/tex]

п.п Извинявам се ,че съм пропуснал в предният си пост да напиша ,че полиномът трябва да е с цели коефициенти,моя е грешката!Просто в даденият пример се вижда,че са цели коефициентите и явно това ме е заблудило и съм пропуснал,да спомена ,че е НУ е коеф. да са цели числа.