Матрица на лин. преобр. относно канонична база

[dilyan_nikoloff]

Нека f е изображение на R3 в R2, при което векторът (x, y, z) се изобразява във вектора:
a) (x + y + z, 0)
б) (x − y, x + y)
...
Установете дали f е линейно преобразувание и в такъв случай определете матрицата му относно
каноничните бази на R3 и R2

Куриоза е, че мога да решавам останалия материял за линейни преобразувания, а това не разбирам как се решава. Първо f(a+b) после f(Na), прая ги тея работи обаче на късмет и незнам какво да правя после,хах Някой може ли да ми обесни накратко кое,как и защо?

[ferry2]

Я напиши ти какво правиш и докъде стигаш.

[dilyan_nikoloff]

Ами например имам x,y,z -> (2x+y, x+z, 0)
За да докажа че това линейни преобр. трябва да изпълнети условията f(a+b)=f(a+b) ,нали?

f(a+b)=(x1 + 2x2 + x3 ) + (y1 + y2 ) + (z1 + z2 ), 0 =
=(x1 + y1 + z1 , 2x2 + y2 + z2 , x3 ,0)
Това би трябвало да е f(a)+(b) и да е равно на f(a+b).

//Следващото го правя като следя решението на един друг пример, незнам колко е вярно
f([tex]\lambda[/tex] a)= (2 ([tex]\lambda[/tex]x1 ) + [tex]\lambda[/tex] y1 , [tex]\lambda[/tex] x2 + [tex]\lambda[/tex] z2 ,0 )=
[tex]\lambda[/tex] (2x1 + y1 , x2 + z2 , 0)
Това би трябвало да е f([tex]\lambda[/tex] a) и да е равно на [tex]\lambda[/tex]f(a) .

След това, ако f е лин.преобр. да определя матрицата му относно
каноничните бази на R3 и R2, и спирам дотук.

[nikko]

Виж си областта от стойности. В твоя случай е R^3, т.е. резултата е вектор с две координати, а не с една
както си писал. Нека (x,y,z)-> (2x+y, x+z, 0)
Иначе [tex]a=(x_1,y_1,z_1), b=(x_2,y_2,z_2)[/tex] и
[tex]f(a+b)=f\left((x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\right)=\left(2(x_1+x_2)+(y_1+y_2),(x_1+x_2)+(z_1+z_2),0\right)=[/tex]
[tex]=(2x_1+y_1,x_1+z_1,0)+(2x_2+y_2,x_2+z_2,0)=f(a)+f(b)[/tex] по същия начин и за [tex]f(\lambda x)[/tex]
За базиса намери образите на базисните вектори
[tex]f\left((1,0,0)\right)=t_{11}(1,0,0)+t_{21}(0,1,0)+t_{31}(0,0,1)[/tex]
[tex]f\left((0,1,0)\right)=t_{12}(1,0,0)+t_{22}(0,1,0)+t_{32}(0,0,1)[/tex]
[tex]f\left((0,0,1)\right)=t_{13}(1,0,0)+t_{23}(0,1,0)+t_{33}(0,0,1)[/tex]
и матрицата на прехода е [tex]T=(t_{ij})[/tex]

[dilyan_nikoloff]

Незнам как да намеря образите на базисните вектори и матрицата на прехода. Тази матрица ли всъшност ще е матрицата на f? А f(a)+f(b) го забрах много ясно сега, благодаря.

[nikko]

Да T както съм я писал не е матрица на прехода, а всъщност матрицата на оператора.
Иначе
[tex]f((1,0,0))=(2,1,0)=2.(1,0,0)+1.(0,1,0)+0.(0,0,1)[/tex] и т.н. мисля че трябва и сам да се опиташ

[dilyan_nikoloff]

Благодаря Nikko, но не разбирам откъде е това (2,1,0)=2.(1,0,0)+1(0,1,0)+(0,0,1) и съответно как да продължа.
2ката явно идва от (2x+y, x+z, 0) а единицата от x+z. Ако е така, пак незнам как да продължа, защото незнам какво правят тези (1,0,0) и т.н. Не ми отговаряй, няма смисъл да си губиш времето. Утре ще пиша ако си взема изпита, чрез системи линейни уравнения

[nikko]

Нали оператора действа (круша, ябълка, портокал) -> (2 круши и ябълка, круша и портокал, нищо)
въпроса е ако имаш (ябълка, нищо, нищо) -> ?