Проблем с матрица на оператор

[rincewind]

Нека е дадена следната задача:

Дадено е лин. простр. [tex]V = M_{2}(R)[/tex], матриците:

[tex]A = \left( \begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
1 &-1 \end{array} \right)[/tex] и [tex]B = \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
-1 &0 \end{array} \right)[/tex] и [tex]\varphi[/tex]: V -> V зададен с формулата: [tex]\varphi[/tex](X) = AXB, X [tex]\in[/tex] V

Да се намери матрицата на оператора в базиса [tex]E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}[/tex].

Искам да питам, каква е идеята за решаването на задачата?

[seppen]

По принцип не знам, но опитай да намериш [tex]\varphi (E_i)[/tex].
Например [tex]\varphi (E_{11})=(\begin{tabular} 0 & 1 \\ 0 & -1\end{tabular})=E_{12}-E_{22}[/tex]
И т.н. като става, ако си представим, че не са матрици.

[rincewind]

Получи се решението

Мерси : )

[tsuki114]

Как ще бъде решението, днес се чудих по тая задача доста време?

[nikko]

Използваме, че линейното пространство [tex]M_2(R)[/tex] има размерност [tex]2\times 2=4[/tex] и базис [tex]E_{11}=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right),\ E_{12}=\left(\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}\right),\ E_{21}=\left(\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}\right),\ E_{22}=\left(\begin{array}{cc}0&0\\0&1\end{array}\right)[/tex] т.е. матрицата на оператора ще е [tex]4\times 4[/tex]. Намираме образите на базисните вектори
[tex]\varphi (E_{11})=\left(\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right).\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right).\left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right)=E_{12}-E_{22}=(0,\ 1,\ 0,\ -1)^{T}[/tex]
[tex]\varphi (E_{12})=\left(\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right).\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}
\right).\left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -1 & 0\end{array}\right)=E_{11}-E_{21}=(1,\ 0,\ -1,\ 0)^{T}[/tex]
[tex]\varphi (E_{21})=\left(\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right).\left(\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}
\right).\left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 0 & 1\end{array}
\right)=-E_{12}+E_{22}=(0,\ -1,\ 0,\ 1)^{T}[/tex]
[tex]\varphi (E_{22})=\left(\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right).\left(\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}
\right).\left(\begin{array}{rr} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 1 & 0\end{array}
\right)=-E{11}+E_{21}=(-1,\ 0,\ 1,\ 0)^{T}[/tex]
И матрицата е [tex]A_{\varphi}=\left(\begin{array}{rrrr}0&1&0&-1\\1&0&-1&0\\0&-1&0&1\\-1&0&1&0\end{array}\right)=A\otimes B[/tex] - това е произведение на Кронекер на две матрици.