Да се намери обратната на матрицата от коефициенти

[roni_hha]

Дадена е следната система линейни уравнения:
X1 + X2 - X3 + X4 = 4
2X1 - X2 + 3X3 - 2X4 = 1
X1 - X3 + 2X4 = 6
3X1 - X2 + X3 - X4 = 0

a/ да се намери детерминантата на матрицата от коефициенти пред неизвестните и да се докаже, че системата има единствено решение;
б/ да се намери обратната на матрицата от коефициенти пред неизвестните и покаже, че точно това е търсената матрица;
в/ да се реши системата.
Подточка В) съм я решила така:
X1 + X2 - X3 + X4 = 4
2X1 - X2 + 3X3 - 2X4 = 1
X1 - X3 + 2X4 = 6
3X1 - X2 + X3 - X4 = 0




1 + 1 - 1 + 1 4
2 - 1 + 3 - 2 1 събираме ред 1 с ред 4
1 - 1 + 2 6
3 - 1 + 1 - 1 0

1 + 1 - 1 + 1 4
2 - 1 + 3 - 2 1 събираме ред 3 с ред 2
1 - 1 + 2 6
4 0 0 0 4 X1 = 1




1 + 1 - 1 + 1 4
3 - 1 + 2 0 1 заместваме X1 с 1
1 - 1 + 2 6
4 0 0 0 4


1 + X2 - X3 + X4 = 4
3 - X2 + 2X3 0 = 7
1 0 - X3 + 2X4 = 6 прехвърляме числата от другата страна на равенството

+ X2 - X3 + X4 = 3
- X2 + 2X3 = 4
- X3 + 2X4 = 5

1 -1 +1 3
-1 +2 0 4 събираме ред 1 с ред 2
0 -1 +2 5


1 -1 +1 3
0 +1 +1 7
0 -1 +2 5 събираме ред 2 с ред 3


1 -1 +1 3
0 +1 +1 7
0 0 + 3 12 X4 = 4

X3 + X4 = 7 следователно X3 = 3

Връщаме се на ред 1

X2 - X3 + X4 = 3 следователно X2 = 2

[ptj]

За да има единствено решение ранга на основната матрица трябва да е равен на ранга на разширената. Ако квадратна матрица е неизродена ([tex]\det \ne 0[/tex]), то ранга и е равен на броя на редовете и обратното.

П.П. Ако не знаеш как може да сметнеш детермината от 4-ти ред - посредством линейни преобразувания над редовете или стълбовете я привеждаш в триъгълен вид (0-ли под главния диагонал). Тогава детерминатата й е равна произведението на елементите в главния диагонал.