норма и следа

[snake1109]

Пресметнете нормата и следата на 2[tex]\sqrt[3]{2} +\sqrt[3]{4}[/tex]

[nikko]

В кое поле?

[snake1109]

нека L=Q([tex]\sqrt[3]{2}[/tex]),k[tex]\in[/tex]Q

[nikko]

Има няколко начина за пресмятане на норма и следа. Това е само единия от тях.

Първо за разширението: [tex]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/tex] е просто разширение, породено чрез присъединяването на
[tex]\alpha=\sqrt[3]{2}[/tex], който е алгебричен и има минимален полином [tex]f(x)=x^3-2[/tex], защото:
1) [tex]f(\alpha)=0[/tex]; 2) f(x) - неразложим над [tex]\mathbb{Q}[/tex] по Критерия на Айзенщайн за [tex]p=2[/tex];
3) f(x) е унитарен (има сташи коефициент 1). Ако [tex]\omega\in\mathbb{C}[/tex] е примитивен трети корен на 1, т.е. [tex]\omega^2+\omega+1=0, \omega^3=1, \omega^4=\omega[/tex], то спрегнатите на [tex]\alpha[/tex] са [tex]\omega\alpha[/tex], [tex]\omega^2\alpha[/tex].

Понеже f(x) е от трета степен, степента на разширение [tex]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}):\mathbb{Q}]=3[/tex] и базиса се състои от 3 последователни степени на примитивния, т.е. [tex]\alpha^0=1,\ \alpha,\ \alpha^2.[/tex]
Търсим нормата и следата на елемента [tex]\beta=2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}=0.1+2.\alpha+1.\alpha^2[/tex] - представен чрез базиса. Разглеждаме естествените изображения (които запазват елементите на [tex]\mathbb{Q}[/tex])
[tex]\sigma_1:\ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\to \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), \sigma_1=\text{id}[/tex]; [tex]\sigma_2:\ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\to \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), \sigma_2(\alpha)=\omega\alpha[/tex]; [tex]\sigma_3:\ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\to \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}), \sigma_3(\alpha)=\omega^2\alpha[/tex]
Следата [tex]\text{tr}(\beta)=\sigma_1(\beta)+\sigma_2(\beta)+\sigma_3(\beta)=0.1+2.\alpha+1.\alpha^2+0.1+2\omega
\alpha+\omega^2\alpha^2+0+2\omega^2\alpha+\omega^4\alpha^2=[/tex]
[tex]=2\alpha\underbrace{(1+\omega+\omega^2)}_{=0}+\alpha^2\underbrace{(1+\omega^4+\omega^2)}_{=0}=0.[/tex]
Нормата [tex]\text{N}(\beta)=\sigma_1(\beta)\sigma_2(\beta)\sigma_3(\beta)=(2\alpha+\alpha^2)(2\omega
\alpha+\omega^2\alpha^2)(2\omega^2\alpha+\omega^4\alpha^2)=[/tex]
[tex]=\omega^3(2\alpha+\alpha^2)(2
\alpha+\omega\alpha^2)(2\alpha+\omega^2\alpha^2)=[/tex]
[tex]=8\alpha^3+4\alpha^4+4\alpha^4\omega+2\alpha^5\omega+4\alpha^4\omega^2+2\alpha^5\omega^2+2\alpha^5\omega^3+\alpha^6\omega^3=[/tex]
[tex]=8.2+2\alpha^5\underbrace{(\omega+\omega^2+\omega^3)}_{=0}+4\alpha^4\underbrace{(1+\omega+\omega^2)}_{=0}+4=20.[/tex]

[snake1109]

Благодаря, много.