Функция

[ladyfly]

Направете пълно изследване на ф-цията и начертайте(ако може) графиката и:y=(x+1)^2/x-2

[martin123456]

функцията [tex]y=\frac{(x+1)^2}{x-2}[/tex] ли е

[ladyfly]

ДА

[martin123456]

[tex]y=\frac{(x+1)^2}{x-2}[/tex]
DM: [tex]x \ne 2[/tex]
[tex]y=0[/tex]<=>[tex]x=-1[/tex]
[tex]x=0[/tex]=>[tex]y=-\frac{1}{2}[/tex]
значи минава през [tex](-1,0)[/tex] и [tex](0,-\frac{1}{2})[/tex]

[tex]y'=\frac{2(x+1)(x-2)-(x+1)^2}{(x-2)^2}=\frac{(x+1)(2x-4-x-1)}{(x-2)^2}=\frac{(x+1)(x-5)}{(x-2)^2}[/tex]
производната се анулира и сменя знак в [tex]x=-1[/tex] и [tex]x=5[/tex]. расте [tex]x \in (-\infty,-1] \cup [5,+\infty)[/tex] и намалява иначе. значи лок макс в -1, лок мин в 5. намери стоойностите им.

[tex]\lim_{x \rightarrow \pm \infty}y = \pm \infty[/tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow 2}y = +\infty[/tex] значи има вертикална асимптота в 2
[tex]\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{y}{x} = 1[/tex], [tex]\lim_{x \rightarrow \pm \infty}(y-x)=\frac{4x+1}{x-2} \rightarrow 4[/tex]=> наклонена асимптота [tex]x+4[/tex]

пъравата производна може да се запише като [tex]\frac{x^2-4x-5}{x^2-4x+4}=\frac{x^2-4x+4-9}{x^2-4x+4}=1-9(x-2)^{-2}[/tex].[tex]y''=18(x-2)^{-3}[/tex]. значи се анулира [tex]x=2[/tex] и там сменя знак: [tex]y'' >0[/tex]<=>[tex]x>2[/tex], иначе <0. където е >0 y е изпъкнала, иначе вдлъбната, в 2 инфлексия

пс може да имам грешки пиша мн набързо