ортонормиран базис върху външна алгебра

[int]

Нека е [tex]V[/tex] реално крайномерно векторно пространство със скаларно произведение [tex](.,.)[/tex] и нека [tex]e_1\ldots e_n[/tex] е ортонормиран базис на [tex]V[/tex]. Да въведем върху външната алгебра [tex]\Bigwedge V[/tex] билинейна форма [tex]B[/tex], която върху разложимите елементи се задава с [tex]\begin{equation}B(x_1\wedge\ldots\wedge x_p,y_1\wedge\ldots\wedge y_q) = \begin{cases}
0 &\mbox{} p\neq q\\
det\{(x_i,y_j)\} &\mbox{} p=q.
\end{cases}\end{equation}[/tex].

Покажете, че така въведената билинейна форма представлява скаларно произведение в [tex]\Bigwedge V,[/tex] и че базисът [tex]e_{i_1}\wedge\ldots\wedge e_{i_p},\mbox{} 1\leq i_1<\ldots <i_p\leq n[/tex] на [tex]\Bigwedge V[/tex] е ортонормиран, относно това скаларно произведение.

Знам, че задачката е принципно тривиална, но ще е добре ако някой се съгласи да покаже и самата сметка, поне главните пунктове.