хомогенни полиноми (задача)

[int]

Покажете, че размерността на пространството от хомогенните полиноми от степен k на n променливи, с реални коефициенти е [tex]\frac{(n+k)!}{n!k!}.[/tex]

[Троян]

Необходима е лека корекция в отговора - [tex]\left( \begin{array}{c} n+k-1 \\ k \end{array} \right)[/tex].

[Троян]

Базис на разглежданото пространството образуват мономите от вида [tex]x_1^{a_1}x_2^{a_2}\ldots x_n^{a_n},\ a_1+\cdots+a_n=k,\ a_i\in \mathbb{N}\cup \left\{0\right\}[/tex].
Търсеният брой е комбинациите на [tex]n-[/tex]те елемента [tex]x_i[/tex] от [tex]k[/tex]-ти клас с повторения, т.е. [tex]\left( \begin{array}{c} n+k-1 \\ k \end{array} \right)[/tex].
За тези които не обичат съединения с повторения Как да пресмятаме комбинации с повторения? Най-разспространен е метода използващ транслация с в-р (0,1,...,к-1) на множеството от к-орки с повторения на n-елемента 1,2,...,n; като предварително всяката такава к-орка (b_1, b_2,..., b_k) сме подредили в нарастващ ред [tex]b_1\leq b_2\leq ...\leq b_k[/tex]. След транслацията получаваме к-орки [tex](b_1,b_2+1,\cdots,b_k+k-1)[/tex] в които всеки следващ елемент е по-голям от предходния. Така чрез транслацията получаваме биекция м/у комбинациите с повторения от к-ти клас на n-елемента и комбинаците без повторения от к-ти клас на n+k-1 елемента.

[int]

Привет. Действително е допусната грешка във формулировката, за което се извинявам. Както е написаната размерността, би трябвало да касае хомогенните полиноми на n+1, а не на n променливи. Благодаря за уточнението.
Всъщност интересната част в задачката е точно достигането до този биномен коефициент.