n мерната сфера (задача)

[int]

Покажете, че [tex]S^n=SO(n+1)/SO(n),[/tex] където [tex]S^n[/tex] е n-мерната реална единична сфера, а [tex]SO(n)[/tex] е групата от реалните ортогонални матрици с размерност n.

[Троян]

Аналогично в сила са [tex]S^{2n-1}=U(n)/U(n-1)[/tex] и [tex]S^{4n-1}=Sp(n)/Sp(n-1)[/tex], където [tex]U(n)[/tex] и [tex]Sp(n)[/tex] са съответно групaта на унитарните и групата на симплектичните матрици от размерност [tex]n[/tex].

[Троян]

Нека [tex]f:SO(n+1)\rightarrow \mathbb{R}^{n+1}[/tex] е изображението съпоставящо на всяка матрица от групата [tex]SO(n+1)[/tex] нейния последен стълб. Тъй като редовете и стълбовете на матриците от разглежданата група формират ортонормиран базис на [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex], то образът чрез [tex]f[/tex] е единичен вектор. Когато пробягваме всички матрици от [tex]SO(n+1)[/tex], образите им пробягват всички единични вектори в [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex]. Следователно [tex]f:SO(n+1)\rightarrow S^n[/tex] е сюрективно изображение.
От друга страна [tex]f^{-1}(0,0, ...,0,1)\simeq SO(n)[/tex], т.е. всеки 2 матрици с еднакъв образ под [tex]f[/tex] се различават с множител - матрица от [tex]SO(n+1)[/tex], на която последния ред и последния стълб е в-ра [tex](0,0, ...,0,1)[/tex], а останалия "блок" [tex]n\times n[/tex] е подходяща матрица от [tex]SO(n)[/tex].
Казаното до тук се записва накратко : изображението [tex]f:SO(n+1)/SO(n)\rightarrow S^n[/tex] е биекция между факторпространството [tex]SO(n+1)/SO(n)[/tex] и единичната [tex]n-[/tex] сфера. Още повече това изображение е непрекъснато, както лесно се проверява. Но всяко биективно непрекъснато изображение на компакт е хомеоморфизъм,
с което установихме, че многообразията [tex]SO(n+1)/SO(n)[/tex] и [tex]S^n[/tex] са хомеоморфни.

[int]

Аха, геометрически всъщност отъждествяваме всички въртения около вектора (0...0 1), който е губо казано един от полюсите на сферата спрямо координати [tex]x_1\ldots x_{n+1}[/tex] в n+1 мерното пространство.
С Други думи, като сме фиксирали единичен вектор, т.е. точка върху сферата, той остава неподвижен относно въртенията около него, т. е. относно въртенията в хиперравнината ортогонална на този вектор.
А дали тези многообразия са гладко еквивалентни?

[Мирослав Стоенчев]

Гладко еквивалентни са, понеже f е не само непрекъсното а дори гладко изображение. Надявам се int да го покаже, техниката която ще използва е хубаво да се види