Базис - как се намира

[Eraser]

Привет на всички!

Не съм сигурен да ли съм разбрал правилно материала от учебника и за това пиша тази тема.
Тук ще дам една задача и решението до което стигам. Ще помоля да ми кажете да ли съм на прав път или съм в грешка и ако съм в грешка каква е тя.

Задача: Да се докаже, че матриците
(1 0) (0 1) (0 0) (0 0)
(0 0) (0 0) (1 0) (0 1)
образуват база на векторното пространство M2x2(R).

От определението знам, че една система е база когато е линейно независима и пораждаща.

Стигам до това, че са линейно независими.
Означавам означавам матриците с е1, е2, е3 и е4.
След това си правя следната линейна комбинация за да видя да ли с-мата е пораждаща.
x = α.e1 + β.e2 + γ.e3 + λe4 и получавам това
(α β)
(γ λ)
До тук разбрах, че с-мата е лин. независима и пораждаща следователно трябва да образува база.
Сега въпроса е да ли това x е базата на с-мата?

[ptj]

За да е базис една линейно независима система вектори трябва да е максимална. Т.е. всеки друг вектор да може да се представи като линейна комбинация на базовите вектори (вече си го доказал). Понеже в базиса ти участват 4 вектора, то и размерността на линейното пространсво е 4. За да минеш към нов базис, трябва матрицата на прехода за линейното преобразувание задаващо прехода от първия към втория да е неособена ([tex]\det \ne 0[/tex]).

П.П. Последния ти въпрос е безмислен. Всяка система с по-малко от 4 вектора не може да е базис.

[Eraser]

За да е базис една линейно независима система вектори трябва да е максимална. Т.е. всеки друг вектор да може да се представи като линейна комбинация на базовите вектори (вече си го доказал). Понеже в базиса ти участват 4 вектора, то и ранга на линейното пространсво е 4. За да минеш към нов базис, трябва матрицата на прехода за линейното преобразувание задаващо прехода от първия към втория да е неособена ([tex]\det \ne 0[/tex]).

П.П. Последния ти въпрос е безмислен. Всяка система с по-малко от 4 вектора не може да е базис.

Значи това цялото {e1, e2, e3, e4} е базата така ли е?

А за матрица на прехода и линейно преобразуване още не съм стигнал до там чак след 6 теми е...

Благодаря ти много за това, че ми помагаш!