Собствени вектори + привеждане в каноничен вид

[brainsick]

Така трябва да реша тези 3 задачи така че ако някой има понятие и да ми обясни кое как става тъй като доцента неми обясни нищо и сега съм като в небрано лозе... та ще съм благодарен на всякаква помощ

[brainsick]

ако е възможно поне някой да ми даде опътване как се решават тези задачи ще съм много благодарен

[brainsick]

Май се оправих с първите 2 задачи но не съм сигурен но третата не знам дори как да я започна... явно никой няма да помогне...

[stflyfisher]

[tex]f=8x_1^2-7x_2^2+8x_3^2+8x_1x_2-2x_1x_3+8x_2x_3[/tex]

[tex]=> f=8.x_1^2-7.x_2^2+8.x_3^2+2.4.x_1x_2+2.(-1)2x_1x_3+2.4.x_2x_3 =>[/tex]

Матрицата на квадратичната форма е:

[tex]A = \left(\begin{array}{rrr} 8 & 4 & -1 \\ 4 & -7 & 4 \\ -1 & 4 & 8\\\end{array}\right)[/tex],

характерестичното уравнение е:

[tex]\det(A-\lambda E)=det(A-\lambda E)=0[/tex], където [tex]E=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\\end{array}\right), \lambda \in R[/tex]

[tex]det(A-\lambda E)=\begin{array}{|rrr|}
(8-\lambda) &4&-1\\
4&(-7-\lambda) &4\\
-1&4&(8-\lambda)
\end{array}=0[/tex]

[tex]<=>[/tex]

[tex](8-\lambda).(-7-\lambda).(8-\lambda)+4.4.(-1)+4.4.(-1)-(-1)(-1)(-7-\lambda)-4.4.(8-\lambda)-4.4.(8-\lambda)=0[/tex]
....
[tex]\lambda^3 -9\lambda^2-81\lambda+729=0[/tex]
....
[tex](\lambda-9)^2.(\lambda+9)=0[/tex]

[tex]\lambda_1= \lambda_2=9; \lambda_3=-9[/tex]

са собствените стойнисти и за всяка стойност търсим собствените вектори от хомогенните системи:

[tex]\begin{tabular}{|l}(8-\lambda_k)x_1+4x_2+(-1)x_3 =0\\4x_1+(-7-\lambda_k)x_2+4x_3 =0\\(-1)x_1+4x_2+(8-\lambda_k)x_3 =0 \end{tabular}[/tex]

[tex]k=1,2,3[/tex]

заб: тук [tex]\lambda_1=\lambda_2[/tex]

[stflyfisher]

при [tex]\lambda_1=\lambda_2=9 =>[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}(8-9)x_1+4x_2+(-1)x_3 =0\\4x_1+(-7-9)x_2+4x_3 =0\\(-1)x_1+4x_2+(8-9)x_3 =0 \end{tabular}<=>[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}-x_1+4x_2-x_3 =0\\4x_1-16x_2+4x_3 =0\\-x_1+4x_2-x_3 =0 \end{tabular}<=>[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}\\4x_1-16x_2+4x_3 =0 \end{tabular}<=>-x_1+4x_2-x_3 =0,=>x_3=4x_2-x_1<=>[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}\\x_1=p\\ x_2=q\\ x_3 =4q-p \end{tabular},[/tex]

[tex]p, q \in R[/tex]

т. е всички собствени вектори при [tex]\lambda_1=\lambda_2=9[/tex] са от вида: [tex]\vec{a}(p;q;4q-p)[/tex]

Избираме първия собствен вектор да бъде прoизволен при [tex]\begin{tabular}{|l}\\p=1\\ q=0 \end{tabular}=>\vec{a_1} =(1;0;4.0-1)=(1;0; -1)[/tex]

Tъй като [tex]\lambda_1=\lambda_2=9[/tex] е двоен корен трябва да изберем и втори собствен вектор [tex]\vec{a_2}[/tex] от вида: [tex]\vec{a}(p;q;4q-p)[/tex], но не какъв да е, а да e ортогонален на първия т.е.

[tex]\vec{a_1}.\vec{a_2}=0<=> (1;0; -1).(p;q;4q-1)=0<=>1.p+0.q+(4q-p)(-1)=0[/tex]

[tex]<=>p-4q+p=0<=>2p-4q=0<=>p=2q[/tex]

Нека [tex]q=1=>p=2q=2.1=2=>\vec{a_2}=(2;1;4.1-2)=(2;1;2)[/tex]

Така при [tex]\lambda_1=\lambda_2=9[/tex] намерихме два ортогонални собствени вектора:

[tex]\vec{a_1} =(1;0; -1)[/tex]

[tex]\vec{a_2}=(2;1;2)[/tex]

и [tex]\vec{a_1}.\vec{a_2}=0[/tex]

[stflyfisher]

при [tex]\lambda_3=-9 =>[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}(8-(-9))x_1+4x_2+(-1)x_3 =0\\4x_1+(-7-(-9))x_2+4x_3 =0\\(-1)x_1+4x_2+(8-(-9))x_3 =0 \end{tabular}<=>[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}17x_1+4x_2-x_3 =0\\4x_1+2x_2+4x_3 =0\\-x_1+4x_2+17x_3 =0 \end{tabular}<=>[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}16x_1+8x_2+16x_3 =0\\4x_1+2x_2+4x_3 =0\\ \end{tabular}<=>[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}2x_1+x_2+2x_3 =0\\2x_1+x_2+2x_3 =0\\ \end{tabular}<=>2x_1+x_2+2x_3 =0<=>x_2=-2(x_1+x_3)[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}x_1=s\\x_2=-2(s+t)\\x_3 =t\\ \end{tabular}[/tex]

[tex]s;t \in R[/tex]

т. е. всички собствени вектори при [tex]\lambda_3=-9[/tex] са от вида: [tex]\vec{a}(s;-2(s+t);t)[/tex]

при [tex]s=1=> \vec{a_3}=(1;-2(1+t);t)[/tex], за да намерим [tex]t[/tex] използваме, че той трябва да е ортогонален на [tex]\vec{a_1}[/tex] и [tex]\vec{a_2}[/tex]:

[tex]\vec{a_1}.\vec{a_3}=0<=>(1;0;-1).(1;-2(1+t);1.t)=0<=>1.1+0.(-2(1+t))+(-1)1.t=0<=>[/tex]

[tex]1-0-t=0<=>1-t=1<=>t=1[/tex]

[tex]\vec{a_2}.\vec{a_3}=0<=>(2;1;1).(1;-2(1+t);1.t)=0<=>2.1+1.(-2(1+t))+2.t=0<=>2-2t-2+2t=0[/tex]

[tex]<=>0=0[/tex]-вярно за всяко [tex]t \in R[/tex]

Окончателно получихме:

при [tex]\lambda_3=-9[/tex] собственият вектор ортогонален на [tex]\vec{a_1}[/tex] и [tex]\vec{a_2}[/tex] се получава при [tex]s=1 => t=1[/tex] и е [tex]\vec{a_3}=(s;-2(s+t);t)=(1;-4;1)[/tex]

[stflyfisher]

Собствените вектори са:

[tex]\vec{a_1} =(1;0; -1)[/tex]

[tex]\vec{a_2}=(2;1;2)[/tex]

[tex]\vec{a_3}=(1;-4;1)[/tex]

и

[tex]\vec{a_1}\bot \vec{a_2};[/tex]

[tex]\vec{a_1}\bot \vec{a_3};[/tex]

[tex]\vec{a_2}\bot \vec{a_3};[/tex]

Но те не са единични вектори. За да станат единични, трябва да се разделят със съответната им дължина( заб. не се иска от задачата) т.е

[tex]|\vec{a_1}|=\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}[/tex]

[tex]|\vec{a_2}|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{9}=3[/tex]

[tex]|\vec{a_3}|=\sqrt{1^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}[/tex]

[tex]=>\vec{a_1}^0 =(\frac{1}{\sqrt{2}};0;-\frac{ 1}{\sqrt{2}})[/tex]

[tex]=>\vec{a_2}^0 =(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{ 2}{3})[/tex]

[tex]=>\vec{a_3}^0 =(\frac{1}{3\sqrt{2}};-\frac{4}{3\sqrt{2} };\frac{ 1}{3\sqrt{2} })[/tex]

т.е

[tex]\vec{a_1}^0\bot \vec{a_2}^0;[/tex]

[tex]\vec{a_1}^0\bot \vec{a_3}^0;[/tex]

[tex]\vec{a_2}^0\bot \vec{a_3}^0;[/tex]

и

[tex]|\vec{a_1}^0|=| \vec{a_2}^0|=| \vec{a_2}^0|=1;[/tex]

[stflyfisher]

[tex]=>\vec{a_1}^0 =(\frac{1}{\sqrt{2}};0;-\frac{ 1}{\sqrt{2}})[/tex]

[tex]=>\vec{a_2}^0 =(\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{ 2}{3})[/tex]

[tex]=>\vec{a_3}^0 =(\frac{1}{3\sqrt{2}};-\frac{4}{3\sqrt{2} };\frac{ 1}{3\sqrt{2} })[/tex]


[tex]=> C = \left(\begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{ 1}{\sqrt{2}} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{ 2}{3} \\ \frac{1}{3\sqrt{2}} & -\frac{4}{3\sqrt{2} } & \frac{ 1}{3\sqrt{2} }\\\end{array}\right)[/tex],

Матрицата на прехода от стария базис към новия базис е:

[tex]C^T= \left(\begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{ 1}{\sqrt{2}} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{ 2}{3} \\ \frac{1}{3\sqrt{2}} & -\frac{4}{3\sqrt{2} } & \frac{ 1}{3\sqrt{2} }\\\end{array}\right)^T[/tex],

където [tex]C^T[/tex] е транспонирата матрица на [tex]C[/tex] т.е.

[tex]C^T= \left(\begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3\sqrt{2}} \\ \ 0 & \frac{1}{3} & -\frac{ 4}{3\sqrt{2}} \\- \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{2}{3 } & \frac{ 1}{3\sqrt{2} }\\\end{array}\right)[/tex]

Тогава спрямо новия базис оператора [tex]A[/tex] има матрицата:

[tex][C^T]^{-1}.A.C=B= \left(\begin{array}{rrr} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & -9\\\end{array}\right)[/tex],

където [tex][C^T]^{-1}[/tex] е обратната матрица на [tex]C^T[/tex]

заб: по главния диагонал на матрицата [tex]B[/tex] са собствените стойности [tex]\lambda_1=\lambda_2=9; \lambda_3=-9[/tex]

[stflyfisher]

[tex]\hat{f}=9.\hat{x_1}^2+9.\hat{x_2}^2-9.\hat{x_3}^2[/tex]

[stflyfisher]

Допуснал съм малки грешки и понеже не мога да си поправя постовете ще ги пусна отново.

[stflyfisher]

[tex]f=8x_1^2-7x_2^2+8x_3^2+8x_1x_2-2x_1x_3+8x_2x_3[/tex]

? [tex]=> f=8.x_1^2-7.x_2^2+8.x_3^2+2.4.x_1x_2+2.(-1)2x_1x_3+2.4.x_2x_3 =>[/tex] ?
...

[tex]=> f=8.x_1^2-7.x_2^2+8.x_3^2+2.4.x_1x_2+2.(-1)x_1x_3+2.4.x_2x_3 =>[/tex]

при [tex]\lambda_1=\lambda_2=9 =>[/tex]
...
и [tex]\vec{a_1}.\vec{a_2}=0[/tex]

[tex]\vec{a_1}.\vec{a_2}=0<=> \vec{a_1}\bot \vec{a_2}[/tex]

при [tex]\lambda_3=-9 =>[/tex]
...

?[tex]\vec{a_1}.\vec{a_3}=0<=>(1;0;-1).(1;-2(1+t);1.t)=0<=>1.1+0.(-2(1+t))+(-1)1.t=0<=>[/tex] ?

? [tex]1-0-t=0<=>1-t=1<=>t=1[/tex] ?

?[tex]\vec{a_2}.\vec{a_3}=0<=>(2;1;1).(1;-2(1+t);1.t)=0<=>2.1+1.(-2(1+t))+2.t=0[/tex]?

?[tex]<=>2-2t-2+2t=0[/tex]?

[tex]\vec{a_1}\bot \vec{a_3}<=>[/tex]

[tex]\vec{a_1}.\vec{a_3}=0<=>(1;0;-1).(1;-2(1+t);t)=0<=>1.1+0.(-2(1+t))+(-1).t=0<=>[/tex]

[tex]1-0-t=0<=>1-t=0<=>t=1[/tex]

[tex]\vec{a_2}\bot \vec{a_3}<=>[/tex]

[tex]\vec{a_2}.\vec{a_3}=0<=>(2;1;0).(1;-2(1+t);t)=0<=>2.1+1.(-2(1+t))+2.t=0<=>2-2-2t+2t=0[/tex]

[tex]<=>0=0[/tex]-вярно за всяко [tex]t \in R[/tex]

[tex][C^T]^{-1}.A.C=B= \left(\begin{array}{rrr} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & -9\\\end{array}\right)[/tex],

където [tex][C^T]^{-1}[/tex] е обратната матрица на [tex]C^T[/tex]

където


[tex][C^T]^{-1}= \left(\begin{array}{rrr} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\\frac{\sqrt{2}}{6} & -\frac{4\sqrt{2}}{6} & \frac{\sqrt{2}}{6}\\\end{array}\right)[/tex]

е обратната матрица на [tex]C^T[/tex] т.е.

[tex][C^T]^{-1}.C^T=C^T.[C^T]^{-1}=E[/tex]

[stflyfisher]

?
[tex]\vec{a_2}.\vec{a_3}=0<=>(2;1;0).(1;-2(1+t);t)=0<=>2.1+1.(-2(1+t))+2.t=0<=>2-2-2t+2t=0[/tex]?

[tex]\vec{a_2}.\vec{a_3}=0<=>(2;1;2).(1;-2(1+t);t)=0<=>2.1+1.(-2(1+t))+2.t=0<=>2-2-2t+2t=0[/tex]

[brainsick]

Мерси много!!! Бъди жив и здрав