Линейно преобразувание относно бази

[vuryss]

Здравейте, имам следната задача:

[tex]e=(\vec{e_{1 }},\vec{e_{2 }})[/tex] е база на V
[tex]a=(\vec{a_{1 }},\vec{a_{2 }})=(\vec{e_{1 }}+2\vec{e_{2 }},\vec{e_{1 }}+\vec{e_{2 }})[/tex] определя базата a на V
[tex]b=(\vec{b_{1 }},\vec{b_{2 }})=(\vec{e_{1 }}+3\vec{e_{2 }},\vec{e_{2 }})[/tex] определя базата b на V

Ако линейното преобразувание f има матрица: [tex]M_{a }(f) = \left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\\end{array}\right)[/tex] относно базата a, да се намери неговата матрица [tex]M_{b }(f)[/tex] относно базата b.

Въртях как ли не не ми се получи нищо смислено. Ще бъда много радостен ако подадете ръка .

Благодаря ви предварително

[martosss]

Най-общо се търсят коефициенти [tex]x[/tex],[tex]y[/tex],[tex]z[/tex],[tex]w[/tex], така че
[tex]f(b_1)=xb_1+yb_2[/tex]
[tex]f(b_2)=zb_1+wb_2[/tex]
За целта първо трябва да изразиш [tex]b_1[/tex] и [tex]b_2[/tex] чрез [tex]a_1[/tex] и [tex]a_2[/tex].
В случая се получава
[tex]b_2=a_1-a_2[/tex]
[tex]b_1=2a_1-a_2[/tex]

Сега остава само да приложиш преобразуванието върху [tex]b_1[/tex] и [tex]b_2[/tex]:
[tex]f(b_1)=f(2a_1-a_2)=...=xb_1+yb_2[/tex]
[tex]f(b_2)=f(a_1-a_2)=...=zb_1+wb_2[/tex]
За да стигнеш до многоточието просто умножаваш матрицата по тези вектори... надявам се знаеш как се прави...
Остава полученото нещо, изразено чрез [tex]e_1[/tex] и [tex]e_2[/tex] да го преобразуваш до [tex]b_1[/tex] и [tex]b_2[/tex]
И след като намериш коефициентите x,y,z,w остава да образуваш матрицата
[tex]\left(\begin{array}{rr} x & z \\ y & w \\\end{array}\right)[/tex] - това трябва да е търсената ...
Това е транспонираната матрица, получена от коефициентите от дясната страна на горните 2 равенства.

Всъщност като съм тръгнал ще я довърша...
[tex]f(b_1)=f(2a_1-a_2)=\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\\end{array}\right)*\left(\begin{array}{rr} 2 \\ -1 \\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} -1 \\ 0 \end{array}\right)= -a_1=-e_1-2e_2=-1(e_1+3e_2)+e_2=-b_1+b_2\Right \\ f(b_1)=-b_1+b_2 \Right \fbox{x=-1,y=1}[/tex]
Първата стъпка е готова - изразихме f(b1) чрез b1 и b2.
Така намерихме първите два коефициента.. ето и другите два по абсолютно същия начин:
[tex]f(b_2)=f(a_1-a_2)=\left(\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 2 \\\end{array}\right)*\left(\begin{array}{rr} 1 \\ -1 \\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rr} -1 \\ -1 \end{array}\right)= -a_1-a_2=-2e_1-3e_2=-2(e_1+3e_2)+3e_2= -2b_1+3b_2\Right \\ f(b_2)=-2b_1+3b_2\Right \fbox{z=-2,w=3}[/tex]

и така търсената матрица би трябвало да е
[tex]\left(\begin{array}{rr} -1 & -2 \\ 1 & 3 \\\end{array}\right)[/tex], където колонките са точно получените стойности (-1,1) и (-2,3).