въпроси по ранг на матрица

[uchenik75]

Здравейте, четох доста за изписаното във форума за ранг на матрица. Видях, че в стария форум е написано от някой, че: ранга=общ брой редове на матрицата - не нулевите редове - това вярно ли е? Всъщност по определение ранг-това е максималният ред на различните от 0 минори.
Вярно ли е че ако имаме матрица А с размери(3х3) и detA=0, то r(А)=2 или това е просто някакъв частен случай?
Може ли да се определи директно рангът без да се използва методът на Гаус?
Има ли някаква максимална стойност, която може да достигне рангът?
Ако може някой да постне някакви прости примерчета, че да ми стане ясно

[nikko]

Видях, че в стария форум е написано от някой, че: ранга=общ брой редове на матрицата - не нулевите редове - това вярно ли е?

Това е абсолютна глупост.

Всъщност по определение ранг-това е максималният ред на различните от 0 минори.

Точно така!

Вярно ли е че ако имаме матрица А с размери(3х3) и detA=0, то r(А)=2 или това е просто някакъв
частен случай?

Частен случай. Ако [tex]\det A=0[/tex] това само означава, че [tex]\text{rank}(A)\leq 2[/tex] за матрица 3x3,
но рангът и може също така да е и 0 или 1.

Може ли да се определи директно рангът без да се използва методът на Гаус?
Има ли някаква максимална стойност, която може да достигне рангът?

Почти е невъзможно да се определи рангът без метода на Гаус.
Имаме неравенство за рангът на матрицата, ако A е [tex]m\times n[/tex] матрица,
то [tex]0\leq \text{rank}(A)\leq \min\{m,n\}[/tex]

[uchenik75]

Тоест, като я преобразувам максимално матрицата по метода на Гаус и за да намеря ранга й гледам броя на редовете, в които не присъства 0-та и фактически броя на редовете=ранга на матрицата ?
Прав ли съм?
Искам да попитам също дали методът на Гаус може да се прилага и по стълбове ?

[nikko]

Тоест, като я преобразувам максимално матрицата по метода на Гаус и за да намеря ранга й гледам броя на редовете, в които не присъства 0-та и фактически броя на редовете=ранга на матрицата ?
Прав ли съм?

От максимално възможния ранг обикновенно се маха броя на нулевите редове (става въпрос целите редове да са нули).

Искам да попитам също дали методът на Гаус може да се прилага и по стълбове ?

Да, при ранг на матрица може да се използват и елементарни преобразувания по стълбове. Между другото така матрицата се привежда до "ешелонна форма", т.е. матрица с r единици по главния диагонал и k нули и всички останали елементи нули. При това рангът е броя на единиците, т.е. r.