Да се намери базис на подпространството W

[didomido]

1. Да се намери базис на подпространството W на R^3, което съвпада с множеството от решенията на хомогенната система:
а) |2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0;
б) |3x_1 + 2x_2 + x_3 = 0;

2 Кои от следните подмножества на R^2 са подпространства?
а) U = {(x,y) |3x+2y = 1};
б) U = {(x,y) |3x-2y = 0;
в) U = {(x,y) |4y+2 = 2(x+1)};
г) U = {(x,y) |y = 3x + 2};

3. На колко е равна размерността на подпространството U на R^7, което свъпада с
а) |x_1 = 0
|x_3 = 0

б) |4x_5 - 10x_7 = 0
|6x_5 - 15x_7 = 0

4. В базиса е_1, е_2 на линейното пространсвто V да се напише матрицата на линейния оператор p, действащ по правилото
а) p(e_1) = 2e_1 - 3e_2, p(e_2) = -2e_1;
b) p(2e_1 + e_2) = e_1 + 3e_2, p(e_1 - e_2) = 2e_1 + 3e_2.

Да се намери векторът р(a), където a = (2, -1).

Ще съм много благодарен, ако някой ми обясни алгоритмите за решаване на такива задачи.

[0xdeadbeef]

1. Да се намери базис на подпространсвтото W на R^3, което съвпада с множеството от решенията на хомогенната система:
а) |2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0;
б) |3x_1 + 2x_2 + x_3 = 0;

a) [tex]W :[/tex] [tex]| 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 0[/tex]. Полагаме [tex]x_2 = r[/tex] и [tex]x_3 = s[/tex] [tex](r,s \in \mathbb{R})[/tex], изразяваме [tex]x_1 = \frac{1}{2}(s - 3r)[/tex].

Множеството от решения на на с-мата е [tex](\frac{1}{2}(s - 3r),r,s)[/tex]. Едно решение е [tex]c = (1,0,2)[/tex] или [tex]W= l(c)[/tex].

б) Аналогично на а)

[0xdeadbeef]

2 Кои от следните подмножества на R^2 са подпространства?
а) U = {(x,y) |3x+2y = 1};
б) U = {(x,y) |3x-2y = 0;
в) U = {(x,y) |4y+2 = 2(x+1)};
г) U = {(x,y) |y = 3x + 2};

a) Не е подпорстранство, понеже [tex](0,0) \notin U[/tex].

б) 1 . Нека [tex]u(x_1,y_1),v(x_2,y_2) \in U[/tex].

[tex]3x_1 -2y_1 = 0[/tex] [tex]\small(1)[/tex] ; [tex]3_x_2 - 2y_2 = 0[/tex] [tex]\small(2)[/tex]

Събираме почленно [tex]\small(1)[/tex] и [tex]\small(2)[/tex]

[tex]3(x_1 + x_2) -2(y_1 + y_2) = 0 \Rightarrow u+v \in U[/tex] (затворено е относно събиране)

2. Нека [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex] и [tex]v \in U[/tex].

[tex]\lambda v = 3\lambda x - 2 \lambda y = 0 \Rightarrow \lambda v \in U[/tex] (затворено относно умножение с число).

Накрая, [tex](0,0)[/tex] също е от [tex]U[/tex]. Значи [tex]U[/tex] е подпространство на [tex]\mathbb{R^2}[/tex]

в) Аналогично на б)

г) Не притежава нулев елемент.

[0xdeadbeef]

3. На колко е равна размерността на подпространството U на R^7, което свъпада с
а) |x_1 = 0
|x_3 = 0

б) |4x_5 - 10x_7 = 0
|6x_5 - 15x_7 = 0

a) [tex]U :[/tex] [tex]\left| \begin{array} x_1 = 0\\
x_3 = 0 \end{array}[/tex], решенията на системата са [tex](0,p,0,q,r,s,t)[/tex], където [tex]p,q,r,s,t[/tex] са реални числа.
Сега се вижда, че [tex]\dim U = 5[/tex].

б) Аналогично на a) (като отчетем, че двата реда са линейна комбинация на ([tex]2x_5 -4x_7[/tex]))

[0xdeadbeef]

4. В базиса е_1, е_2 на линейното пространсвто V да се напише матрицата на линейния оператор p, действащ по правилото
а) p(e_1) = 2e_1 - 3e_2, p(e_2) = -2e_1;
b) p(2e_1 + e_2) = e_1 + 3e_2, p(e_1 - e_2) = 2e_1 + 3e_2.

Да се намери векторът р(a), където a = (2, -1).

a) Матрицата на оператора в базиса [tex]e_1,e_2[/tex] е [tex]A = \left( \begin{array} 2 && -2 \\ -3 && 0\end{array} \right)[/tex].
[tex]A \left( \begin{array}2 \\ -1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}6 \\ -6 \end{array} \right)[/tex] или [tex]\varphi(a) = 6e_1 - 6e_2[/tex].

[0xdeadbeef]

Ама не ми вярвай много много, от скоро се готвя за изпита по ЛА. Иначе, ако искаш пускай още задачи, тъкмо и аз да се упражнявам

[0xdeadbeef]

На 1 а), нещо друго съм си мислил, [tex]c_1=(1,0,2), c_2 = (-3,2,0)[/tex] и [tex]W = l(c_1,c_2)[/tex]

[didomido]

Ама не ми вярвай много много, от скоро се готвя за изпита по ЛА. Иначе, ако искаш пускай още задачи, тъкмо и аз да се упражнявам

Благодаря, но може ли по-подробно да обясниш как ги решаваш, че съм в мъглата

[0xdeadbeef]

На първа задача търсим ФСР на ЛХСУ, втора по дефиниция за подпространство, в трета търсим максималния брой линейно независими вектори и в четвърта а) матрицата на оператор в даден базис намираме като в стълбовете на матрицата запишем координатите на образите на базисните вектори.
Btw. в [tex]\mathbb{R}^2[/tex] единствените подпорстранства са 1) правите минаващи през т.О . 2) т. О и 3) самото [tex]\mathbb{R}^2[/tex]

Ето и 4.б)

[tex]a_1 = 2e_1 +e_2,a_2 = e_1 - e_2[/tex]. Лесно се проверява, че [tex]a_1[/tex] и [tex]a_2[/tex] са линейно независими (или [tex]a_1,a_2[/tex] e друг базис на V). Матрицата [tex]C[/tex] на оператора [tex]\varphi[/tex] в базиса [tex]e_1,e_2[/tex], намираме по формулата [tex]C = B A^{-1}[/tex], където [tex]A = \left( \begin{array} 2 && 1 \\ 1 && -1\end{array} \right)[/tex] и
[tex]B = \left( \begin{array} 1 && 2 \\ 3 && 3\end{array} \right)[/tex] или [tex]C = \left( \begin{array} 1 && -1 \\ 2 && -1\end{array} \right)[/tex].