Задачи за изпит по аналичитна геометрия

[Гост]

1) Дадени са 2 срещуположни върха на квадрат: А(3;5) и С(1;-3). Да се намерят уравненията на диагоналите му и на правата АВ.

2) Да се намерят интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост и инфлексните точки на функцията f(x)=lx2 (х е степен на l и 2ката е степен на х)

3) Да се намери лицето на частта от равнината, оградена от графиката на функцията у=4x+x2(х на 2-ра) и правата с уравнение х-у+4=0

[Anubis]

Първо намираме пресечните точки на параболата и правата.

[tex]\begin{array}{||}y=x^2+4x \\ y=x+4\end{array} \Rightarrow x^2+4x=x+4 \Rightarrow x^2+3x-4=0 \Rightarrow x_{1}=1, \, x_{2}=-4 \Rightarrow y_{1}=5, \, y_{2}=0[/tex]

Пресечните точки са [tex](1; \, 5)[/tex] и [tex](-4; \, 0)[/tex].

Виждаме, че в интервала [tex][-4; \, 1][/tex] зелената линия (правата) лежи, образно казано, над

червената линия (параболата). Тогава

[tex]S=\int_{-4}^{1} x+4-(x^2+4x) \operatorname{d}x = \int_{-4}^{1} (-x^2-3x+4) \operatorname{d}x=\frac{125}{6}[/tex].