Криви от втора степен !

[Гост]

Въпросът ми е се отнася към 2 задачи.

Практическа задача: Да се провери дали кривата c : x² - 4y +1 = 0 е изродена. В случая, когато е изродена да се намерят правите, в които кривата се изражда.

Теоретическа задача: Метрична класификация на кривите от втора степен.

Ще съм благодарен на всякаква помощ !

[Гост]

Общият вид на една крива от втора степен е следният:

[tex]a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0[/tex].

Матрицата от коефициентите е симетрична, т. е. [tex]a_{12}=a_{21}, \quad a_{13}=a_{31}, \quad a_{23}=a_{32}[/tex].

[tex]A = \left ( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 1 \end{array} \right ), \quad \operatorname{Det}A = -4 \neq 0[/tex]

Понеже тази детерминанта е различна от нула, кривата е неизродена. Ако е нула, кривата е изродена.

[tex]x^2-4y+1=0 \Leftrightarrow x^2 - 4 \left ( y - \frac{1}{4} \right ) = 0[/tex]

Полагаме [tex]x=Y, \quad y - \frac{1}{4} = X[/tex], тогава получаваме уравнението [tex]Y^2 - 4 X = 0 \Leftrightarrow Y^2 = 2 \cdot 2 \cdot X[/tex]. Това

уравнение е от вида [tex]Y^2 = 2pX[/tex] с параметър [tex]p=2[/tex]. Значи кривата е парабола.

[Гост]

Благодаря (: