Помощ за задача по аналитична геометрия

[Гост]

1) Намерете координатите та точка А, ако тя лежи на правата l : x − y + 2 = 0 и е равноотдалечена от точка
B(−4, 2) и правата p : x + y + 4 = 0.

2)В равнината са дадени точките A(5, 5) и B(2, 4). Намерете:
координатите на точката С ОТ правата l : x − y = 0 така че АВС да е правоъгълен с прав ъгъл при върха С

[math10.com]

разстоянието от точка [tex]A(x_1,y_1)[/tex] до права [tex]p: x+y+4=0[/tex] е:[tex]d=\frac{|x_1+y_1+4|}{\sqrt{2}}[/tex]

разстоянието от точка [tex]A(x_1,y_1)[/tex] до точка [tex]B(-4;2)[/tex] e: [tex]d=\sqrt{(x_1+4)^2+(y_1-2)^2}[/tex]

[tex]\begin{tabular}{|l}d=\frac{|x_1+y_1+4|}{\sqrt{2}} ; =>d=\frac{|2y_1+2|}{\sqrt{2}} ; =>d^2=2y_1^2+4y_1+2\\d=\sqrt{(x_1+4)^2+(y_1-2)^2} ; =>d=\sqrt{y_1^2+4y_1+4+y_1^2-4y_1+4} ; =>d^2=2y_1^2+8\\x_1-y_1+2=0 ; =>x_1=y_1-2\end{tabular}[/tex]

[tex]=>2y_1^2+4y_1+2=2y_1^2+8 ; =>y_1=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}[/tex]

[tex]=>x_1=y_1-2=-\frac{1}{2}[/tex]

[kmitov]

В равнината са дадени точките A(5, 5) и B(2, 4). Намерете:
координатите на точката С ОТ правата l : x − y = 0 така че АВС да е правоъгълен с прав ъгъл при върха С,

Нека [tex]C(x,y)[/tex]. Oт това, че C лежи на l, следва, че [tex]y=x[/tex], т.е. [tex]C(x,x)[/tex].
Векторите [tex]\vec{CA}(5-x,5-x)[/tex] и [tex]\vec{CB}(2-x,4-x)[/tex] трябва да са взаимно перпендикулярни, а това е само когато скаларното им произведение е равно на 0. Така [tex]\vec{CA}.\vec{CB}=(5-x)(2-x)+(5-x).(4-x)=0[/tex],
[tex]10-7x+x^2+20-9x+x^2=0[/tex]
[tex]2x^2-16x+30=0|:2[/tex]
[tex]x^2-8x+15=0[/tex]
Корените на това уравнение са 3 и 5. Така имаме две решения за точката C: (3,3) и (5,5).
(От елементарно геометрични съображения, окръжността с диаметър AB пресича правата l в тези две точки.)

[math10.com]

В равнината са дадени точките A(5, 5) и B(2, 4). Намерете:
координатите на точката С ОТ правата l : x − y = 0 така че АВС да е правоъгълен с прав ъгъл при върха С,

Нека [tex]C(x,y)[/tex]. Oт това, че C лежи на l, следва, че [tex]y=x[/tex], т.е. [tex]C(x,x)[/tex].
Векторите [tex]\vec{CA}(5-x,5-x)[/tex] и [tex]\vec{CB}(2-x,4-x)[/tex] трябва да са взаимно перпендикулярни, а това е само когато скаларното им произведение е равно на 0. Така [tex]\vec{CA}.\vec{CB}=(5-x)(2-x)+(5-x).(4-x)=0[/tex],
[tex]10-7x+x^2+20-9x+x^2=0[/tex]
[tex]2x^2-16x+30=0|:2[/tex]
[tex]x^2-8x+15=0[/tex]
Корените на това уравнение са 3 и 5. Така имаме две решения за точката C: (3,3) и (5,5).
(От елементарно геометрични съображения, окръжността с диаметър AB пресича правата l в тези две точки.)

Точка [tex]C(5,5)[/tex] няма как да е решение тъй като ще съвпада с точка [tex]A(5,5)[/tex], което означава че не съществува [tex]\triangle ABC[/tex]

[kmitov]

Вярно. Благодаря. Не съм догледал нещата.