Допирателна към крива от 2ра степен

[didi33]

Имам затруднения при решаването на следната задача:
Да се намери допирателната t към кривата с уравнение 2x=5y-2y^2+6 , ако t II q: x+y=7.
Предварително благодаря!

[kmitov]

[tex]2x=5y-2y^2+6[/tex]
Диференцираме това уравнение и получаваме:
[tex]2=5y'-4yy'[/tex]
[tex]y'=\frac{2}{5-4y}[/tex]
За да бъде допирателната към графиката на функцията в точка [tex](x_0,y_o)[/tex] успоредна на праватa [tex]y=-x+7[/tex]
трябва [tex]y'(x_0)=-1[/tex]
Така от
[tex]y'=\frac{2}{5-4y}=-1[/tex]
намираме [tex]y_0=\frac{7}{4}[/tex]
после намираме
[tex]2x_0=5.(7/4)-2(7/4)^2+6=69/8[/tex]
Уравнението на допитателната пишем като права през точката (69/8,7/4) и ъглов коефициент -1.
[tex]y-\frac{7}{4}=-1.(x-\frac{69}{8})[/tex]
и го преобрзуваме.

[didi33]

Благодаря за предложеното решение!
Но искам само да вметна, че задачата е от аналитична геометрия и на този етап (1 семестър съм) не сме решавали задачи за уравнения на прави чрез използване на производни.
Има ли някакво друго решение?

[kmitov]

Ами вземи права успоредна на дадената [tex]x+y=b[/tex] , където b e параметър и търси b така, че системата
[tex]\left|\begin{tabular}{l} 2x=5y-2y^2+6\\
x+y=b
\end{tabular} \right.[/tex]

да има единствено решение. Като заместиш x=b-y, ще се получи квадратно уравнение с параметър.

[kmitov]

[tex]2x=5y-2y^2+6[/tex]
Диференцираме това уравнение и получаваме:
[tex]2=5y'-4yy'[/tex]
[tex]y'=\frac{2}{5-4y}[/tex]
За да бъде допирателната към графиката на функцията в точка [tex](x_0,y_o)[/tex] успоредна на праватa [tex]y=-x+7[/tex]
трябва [tex]y'(x_0)=-1[/tex]
Така от
[tex]y'=\frac{2}{5-4y}=-1[/tex]
намираме [tex]y_0=\frac{7}{4}[/tex]
после намираме
[tex]2x_0=5.(7/4)-2(7/4)^2+6=69/8[/tex]
Уравнението на допитателната пишем като права през точката (69/8,7/4) и ъглов коефициент -1.
[tex]y-\frac{7}{4}=-1.(x-\frac{69}{8})[/tex]
и го преобрзуваме.

Сгрешил съм последните сметки. Трябва да бъде:

после намираме
[tex]2x_0=5.(7/4)-2(7/4)^2+6=69/16[/tex]
Уравнението на допитателната пишем като права през точката (69/16,7/4) и ъглов коефициент -1.
[tex]y-\frac{7}{4}=-1.(x-\frac{69}{16})[/tex]
и го преобрзуваме
[tex]x+ y = \frac{97}{16}.[/tex]

[didi33]

kmitov,
Много ви благодаря за съвета за съставяне на система.
Направих я и получих t:x+y=97/16
Невероятни сте!
Благодаря!