За параболата y=2(3+1)x напишете координатите на върха фокус

[Гост]

1. Окръжност с център т.А (7,1) минава през началото на координатна система. Напишете уравнението й.
2. Окръжност с център т.О (2,0), радиус 5 и правата у=kx+k се допират. Намерете к.
3. За параболата y=2(3+1)x напишете координатите на върха и на фокуса. Напишете уравнението на директрисата. Нарисувайте схематично параболата.
4. Прикачена!
Благодаря!

[Knowledge Greedy]

Стара задача. Да я изчистим от нерешените. А може и на някого да е полезна?
1. Ако означим радиуса с [tex]R[/tex], дори само теоремата на Питагор да знаем, ще изведем
[tex](x-7)^2+(y-1)^2=R^2[/tex]. Но щом началото O(0;0) е от тази окръжност, [tex]7^2+1^2=R^2.[/tex]
Значи търсеното уравнение е [tex](x-7)^2+(y-1)^2=50[/tex].
2. Както в задача 1.) уравнението на окръжността е [tex](x-2)^2+y^2=25[/tex].
Нека допирната точка е [tex]T(x_0, y_0)[/tex].
Допирателната към окръжността в [tex]T[/tex] e [tex](x_{0}-2)(x -2)+y_{0}y=25[/tex].
Записваме я във вида [tex]y=kx+k[/tex] и сравняваме коефициентите, като отчитаме и принадлежността на точката [tex]T:[/tex]
[tex](x_{0}-2)^2+y^2_{2}=25[/tex].
Получаваме, че е невъзможно съвпадане на свободния член и ъгловия коефициент [tex]k[/tex] на допирателната, за която и да е точка от окръжността.
Втори начин за 2-ра(алгебричен)
Решаваме системата
[tex]\left| \begin{matrix}
(x-2)^2+y^2 & =25\\
y & = kx+k
\end{matrix} \left|[/tex]
След като заместим [tex]y[/tex] в първото уравнение, получаваме квадратно уравнение за [tex]x,[/tex] чиято дискриминанта неможе да е нула, при каквото и да е реално [tex]k.[/tex]
3. Просто е с непълно условие - това не е уравнение на парабола.
4. [tex]\frac{x^2}{ 6}-\frac{y^2}{ 5} =1[/tex] записваме така
[tex]\frac{x^2}{ (\sqrt{6})^2 }-\frac{y^2}{ (\sqrt{5})^2 } =1[/tex]
С числата [tex]a=\sqrt{6}[/tex] и [tex]b=\sqrt{5}[/tex] намираме числото [tex]c=\sqrt{11}[/tex], по формулата [tex]c^2=a^2+b^2[/tex].
Знае се, че разстоянието между фокусите [tex]F_{1} F_{2}=2c[/tex], оттук координатите им са [tex]F_{1}(-\sqrt{11} ;0)[/tex] и [tex]F_{2}(\sqrt{11} ;0)[/tex].
Уравненията на асимптотите са [tex]y=\frac{b}{a}x[/tex] и [tex]y=-\frac{b}{a}x[/tex], като заместим:
[tex]y=\frac{\sqrt{30} }{6}x[/tex] и [tex]y=-\frac{\sqrt{30} }{6}x.[/tex]