Разстояние от точка до права

[Гост]

Дадени са точката M(-1,1,2) и правата
a:{x-y+1=0,x-z-2=0}
Да се намери разстоянието от точката М до правата a;

[Knowledge Greedy]

Правата можем да запишем така
[tex]a: \frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}[/tex]
Правим извод, че [tex]\vec{v}(1,1,1)[/tex] e успореден на правата [tex]a[/tex].
Ще напишем уравнение на равнина [tex]\lambda \bot a,[/tex] като [tex]\lambda[/tex] да минава през дадената точка [tex]M(-1,1,2)[/tex] . Нека [tex]P(x,y,z)\in \lambda[/tex].Тогава векторът [tex]\vec{MP}(x+1,y-1,z-2)[/tex] е произволен вектор от равнината.
Тъй като [tex]\vec{v}\bot \vec{MP},[/tex] то от скаларното произведение [tex]\vec{v} .\vec{MP}=0[/tex] получаваме уравнението на равнината [tex]\lambda[/tex]
[tex]-(x+1)+y-1+2(z-2 )=0[/tex].
Прободът на правата [tex]a[/tex] с равнината [tex]\lambda[/tex] e е точно петата на перпендикуляра от дадената точка [tex]M(-1,1,2)[/tex] към правата [tex]a[/tex]. Следователно остава да решим една система (намираме координатите на петата) и да приложим формулата за разстояние между две точки ([tex]M[/tex] и петата).