Задача за линейна комбинация - помощ

[Гост]

Здравейте. Подготвям се за изпит и не мога да реша една задача с линейна зависимост на вектори. Ще се радвам, ако ме насочите дали съм на прав път с решението и как се решава изцяло и напълно задачата. Благодаря предварително.

Нека:
a1=(3,1,5,4)
a2=(12,-7,4,11)
a3=(2,-3,-2,1)
v=(8,-1,x+6,x+7) (x [tex]\in[/tex] Q)
са вектори от линейното пространство Q4. Да се определи за кои стойности на параметъра x векторът v може да се представи по повече от един начин като линейна комбинация на векторите a1, a2 и a3. Да се намерят две различни такива представяния.

Аз стигам дотук и после не знам какво да правя:
(3 12 2 8)
(1 -7 -3 1)
(5 4 -2 x+6)
(4 11 1 x+7)

[Knowledge Greedy]

Трябва да намериш такова [tex]x[/tex], че детерминантата на матрицата с елементи координатите на тези вектори да има стойност нула.

[Knowledge Greedy]

Като започнах да преобразувам твоята детерминанта открих, че дадените вектори [tex]\underset{a_{1}}{\rightarrow}[/tex] ,[tex]\underset{a_{2}}{\rightarrow}[/tex] и [tex]\underset{a_{3}}{\rightarrow}[/tex] са линейно зависими.
Това означава, че съществуват числа [tex]\alpha_{1} , \alpha_{2}[/tex] и [tex]\alpha_{3}[/tex], за които [tex]\alpha_{1}\vec{a_{1}}+ \alpha_{2}\vec{a_{2}}+\alpha_{3}\vec{a_{3}}= \vec {0}[/tex].
В случая
[tex]2\vec{a_{1}}- \vec{a_{2}}+3\vec{a_{3}}= \vec {0}[/tex].
Това прави още по-лесно откриването на [tex]x[/tex].
Отговор: за всяко [tex]x[/tex] даденият вектор може да се представи по повече от един начин като линейна комбинация на [tex]\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}[/tex] и [tex]\vec{a_{3}}[/tex].
Едно представяне при [tex]x=2[/tex] е [tex]\vec {v} =2\vec{a_{1}}+0 \vec{a_{2}}+\vec{a_{3}}[/tex].
Второ представяне при [tex]x=2[/tex] е [tex]\vec {v} =0\vec{a_{1}}+1 \vec{a_{2}}-2\vec{a_{3}}[/tex].
Как ги получих? По-добре намери сам трето представяне. Ето как. Както си написал матрицата обърнато - по стълбове:
1) умножи първия стълб с [tex]\alpha[/tex],
умножи втория стълб с [tex]\beta[/tex], а третия с нула.
2) Събери ги и приравни на четвъртия стълб.
3)Ще получиш системата
[tex]\left|\\3\alpha +12\beta +0.2 =8 \\
1\alpha -7\beta +0.(-3) =11\\
2\alpha -3\beta +0.(-2) =1 \\
4\alpha +11\beta +0.1 =x+7
\ \right[/tex] и като я решиш, отговорът ще бъде [tex]\vec {v} =\alpha \vec{a_{1}}+\beta \vec{a_{2}}+0.\vec{a_{3}}[/tex].
Забравил съм накрая (т.е. в началото) да запиша [tex]2[/tex] вместо [tex]x[/tex] в системата.