Канонизация на крива от втора степен

[lamptz]

Да се канонизира уравнението, задаващо крива от втора степен: [tex]9x^{2}-4xy+6y^{2}+6x-8y+2=0[/tex].

[Knowledge Greedy]

[tex]9x^{2}-4xy+6y^{2}+6x-8y+2=0[/tex].

От от детерминантите [tex]A=\left| \begin{matrix}
9 & -2 & 3 \\
-2 & 6 & -4 \\
3 & -4 & 2
\end{matrix}\right|=-50\ne 0[/tex] и [tex]A_{33}=\begin{vmatrix}
9 & -2\\
-2 & 6
\end{vmatrix}>0[/tex]
следва, че кривата е от елиптичен тип.
Решавайки системата
[tex]\begin{array}{|l}
9x_0 & -2y_0 & =-3 \\
-2x_0 & +6y_0 & =4
\end{array}[/tex], намираме [tex]\begin{array}{|l}
x_0 &=-\frac{1}{ 5} \\
y_0& =\frac{3}{ 5}
\end{array}[/tex]
Следователно центърът на тази елипса е точката [tex]C \left ( -\frac{1}{ 5},\frac{3}{ 5} \right).[/tex]
Определяме свободния член [tex]f=\frac{A}{A_{33} } =-1[/tex]
Дотук изводът за каноничното уравнение е, че е от вида
[tex]\lambda_1 X^2 + \lambda_2Y^2 -1 =0[/tex]
Секуларното уравнение [tex]\begin{vmatrix}
9-\lambda & -2\\
-2 & 6-\lambda
\end{vmatrix}=0[/tex] ни дава коефициентите [tex]\begin{array}{|l}
\lambda_1 &=10 \\
\lambda_2 & =5
\end{array}[/tex]
Следователно елипсата е [tex]10 X^2 + 5Y^2 -1=0[/tex]
или още
[tex]\frac{X^2}{\left ( \frac{\sqrt{10} }{ 10} \right )^2 } +\frac{Y^2}{\left ( \frac{\sqrt{5} }{ 5} \right )^2 } =1[/tex]

А ето какво даде и Wolfram Alpha

Елипсата по Wolfram Alpha.PNG (8.51 KiB) Прегледано 1679 пъти

[lamptz]

Благодаря, много ...

[Knowledge Greedy]

Като се замисли човек, центърът на елипсата изобщо не ни трябва като отговор на прекия въпрос.
Но от друга страна, знаейки центъра и осите можем да определим ексцентрицитета, да ги свържем и с уравнението ...

[Гост]

В случая a=[tex]\frac{\sqrt{10} }{10 }[/tex], а b=[tex]\frac{\sqrt{5} }{5 }[/tex]. Но като смятам c ми се получават странни отговори, защото нали [tex]\sqrt{a^2 - b^2}=c[/tex]? Тогава излиза, че [tex]c=\sqrt{-1}[/tex]? ..

[Knowledge Greedy]

Каква е тази паника?
Що е [tex]c[/tex] ?
Защо не изваждаш от квадрата на по-голямата полуос квадрата на по-малката?

Търсиш геометричния смисъл на [tex]c[/tex] - разстоянието от центъра на елипсата до фокусите. Явно[tex]c=\frac{\sqrt{10} }{10 }[/tex].
Но в случая фокусите и центъра ще се намират не един до друг, а "един над друг" - на права, която е "вертикална". На картинката тази права е леко наклонена от вертикала надясно (затова пиша кавички).
Същият проблем няма да възникне и при смятане на [tex]\varepsilon[/tex], ако вникнем в смисъла на определението.

ексцентрицитет.PNG (2.54 KiB) Прегледано 1640 пъти

Остана в това определение да изясним и що е това връх на елипса и сме готови (за домашно! )

[lamptz]

Извинявам се, просто след определен час явно не трябва да решавам задачи. Мерси ..