Помощ за задача по Аналитична Геометрия!

[Гост]

https://fbcdn-sphotos-h-a.akamaihd.net/hphotos-ak-xpf1/v/t34.0-12/10462822_759925907390964_8361713026476150549_n.jpg?oh=ae06346429eabc506fc272caa0ba0661&oe=539C24A6&__gda__=1402720729_d9098c834594fa414b8f0ed78ddbcf24

Трябва ми за проект по геометрия, а съм затрупан с другите изпити. Много бих благодарен ако някой я реши!

[kucheto]

Първо, нека да пренапишем условието, за да е видно на всички (променил съм някои букви, за да ми е по-удобно):

Правите [tex]h:\begin{cases} x=2-s \\ y=1 \\ z=-3+2s\end{cases},\ m:\begin{cases} x=1-u \\ y=4+3u \\ z=-1+2u\end{cases},\ l:\begin{cases} x=1-t \\ y=2+t \\ z=-1+2t\end{cases}[/tex]
са съответно височина, медиана и ъглополовяща през върха [tex]A[/tex] на [tex]\triangle ABC[/tex], чиято височина през върха [tex]A[/tex] има дължина [tex]|AH|=\sqrt{5}[/tex]. Да се намерят координатите на центъра на вписаната в триъгълника окръжност.

Като приравним уравненията на правите, получаваме, че [tex]A=(2,1-3).[/tex] Лесно се проверява, че трите прави са компланарни, а за тангенсите на острите ъгли между правите лесно можем да намерим, че са: [tex]tg\angle(h,m)=\frac{3}{\sqrt{5}},\ tg\angle(h,l)=\frac{1}{\sqrt{5}}.[/tex] Сега да преминем към по-удобната Декартова равнинна координатна система - полагаме [tex]H=(0,0),\ A=(0,\sqrt{5}).[/tex] За [tex]M[/tex] и [tex]L[/tex] (пети на медианата и височината през [tex]A[/tex]) полагаме, че са с отрицателна абсциса и като използваме получените тангенси, получаваме, че [tex]M=(-3,0),\ L=(-1,0).[/tex] Сега първо нека построим [tex]\triangle ABC,[/tex] като построяването на триъгълник по дадени височина, медиана и ъглополовяща е известна построителна задача, решаваща се по следния начин:
1) пресичаме симетралата към [tex]BC[/tex] (в случая това е перпендикулярът от [tex]M[/tex] към [tex]MH[/tex]) с ъглополовящата [tex]AL[/tex] - известно е, че пресечната им точка [tex]P[/tex] лежи на описаната окръжност;
2) пресичаме симетралите на [tex]BC[/tex] и [tex]AP[/tex] - те се пресичат в центъра на описаната окръжност [tex]O[/tex];
3) построяваме описаната окръжност (с център [tex]O[/tex] и радиус [tex]R=OA=OP[/tex]) и я пресичаме с правата [tex]MH[/tex] - получаваме исканите точки [tex]B[/tex] и [tex]C.[/tex]

В нашия случай получаваме следното:
1) Уравнението на ъглополовящата е [tex]y=\sqrt{5}x+\sqrt{5}[/tex], а на симетралата към [tex]BC[/tex] е [tex]x=-3.[/tex] Като приравним, получаваме, че [tex]P=(-3,-2\sqrt{5})[/tex];
2) Симетралата на [tex]AP[/tex]има уравнение [tex]y=-\frac{\sqrt{5}}{5}x-\frac{4\sqrt{5}}{5}\Rightarrow O=(-3,-\frac{\sqrt{5}}{5})[/tex];
3) [tex]R=OP=2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{9\sqrt{5}}{5},\ R^2=\frac{81}{5}=OM^2+BM^2=\frac{1}{5}+BM^2\Rightarrow BM=4.[/tex] Ще приемем, че [tex]B[/tex] е отляво, а [tex]C[/tex] е отдясно [tex]\Rightarrow B=(-7,0),\ C=(1,0).[/tex]

Вече построихме триъгълника и е време да намерим елементите му: [tex]c=AB=3\sqrt{6},\ b=AC=\sqrt{6},\ a=BC=8,\ p=\frac{1}{2}(a+b+c)=2\sqrt{6}+4,\ S=\frac{1}{2}AH.a=4\sqrt{5},\ r=\frac{S}{p}=\sqrt{30}-2\sqrt{5}.[/tex] Ако [tex]I[/tex] е центърът на вписаната окръжност, а [tex]D[/tex] е допирната точка на вписаната окръжност с [tex]BC[/tex], то [tex]CD=p-c=4-sqrt{6}\Rightarrow D=(-3+\sqrt{6},0)\Rightarrow I=(-3+\sqrt{6},\sqrt{30}-2\sqrt{5}).[/tex] Оттук получаваме, че [tex]AI^2=90-36\sqrt{6}.[/tex] Като се върнем в първоначалната ни координатна система, получаваме, че [tex]AI^2=(1+t)^2+(1+t)^2+(2(1+t))^2=6(1+t)^2\Rightarrow (3-\sqrt{6})^2=(1+t)^2\Rightarrow t=\pm(3-\sqrt{6})-1.[/tex] Като заместим и с двата корена, окончателно получаваме решенията: [tex]I_1=(\sqrt{6}-1,4-\sqrt{6},3-2\sqrt{6}),\ I_2=(5-\sqrt{6},\sqrt{6}-2,2\sqrt{6}-9).[/tex]

[Гост]

Мерси! Много съм задължен!