Елипса

[Elisss]

Да се напише уравнението на допирателната към елипса с уравнение x^2/2 + y^2/8 = 1 , перпендикулярна на правата g: x+2y-3=0.

[krumbgf]

Нормалния (перпендикулятен) вектор на правата g е [tex]\vec{n_{g}} = (1,2)[/tex]
Нека означим търсената от нас права с [tex]k[/tex].
[tex]k[/tex] е успореден на [tex]\vec{n_{g}}[/tex] . Тоест нормалния вектор на правата която търсим ще е перпендикулярен на [tex]\vec{n_{g}}[/tex], и значи скаларното произведение ще е нула : [tex]\vec{n_{g}} * \vec{n_{k}}=0[/tex]
И така намираме един подходящ нормален вектор на k : [tex]\vec{n_{k}} = (2,-1)[/tex] и от там намираме как изглежда уравнениетo на [tex]k : 2x-y+a=0[/tex] където [tex]a \in R[/tex]
И сега трябва да намерим a.
Ще го намерим като от уравнението на k изразим едната променлива чрез другата и заместим в уравнението на елипсата (търсим точка която е както от правата k така и от елипсата).
Получаваме уравнението : [tex]y=2x+a \Rightarrow 4x^2+4x^2+4ax+a^2=8 \Leftrightarrow 8x^2+4ax+a^2-8=0[/tex]
И сега търсиме такова a че последното уравнение да има точно един корен, тоест дискриминантата да е 0 (защото k е допирателна към елипсата и следователно имат само една обща точка)
[tex]\frac{D}{2 } = -4a^2+64[/tex]
И от тук намираме [tex]a=\pm 4[/tex]
И така правите се оказват две :
[tex]k_{1} : 2x-y+4=0[/tex]
[tex]k_{2} : 2x-y-4=0[/tex]

elipsa.png (32.02 KiB) Прегледано 688 пъти