Точките А(8,-3)и C(10,11) са противоположни върхове в ромб

[unfig]

Здравейте, може ли някой да ми помогне със следната задача, ще съм изключително признателен!

Точките А(8,-3)и C(10,11) са противоположни върхове в ромб ABCD със страна AB=10.Намерете координатите на другите два върха.

[Knowledge Greedy]

Точките А(8,-3)и C(10,11) са противоположни върхове в ромб ABCD със страна AB=10. Намерете координатите на другите два върха.
Гледаме картинката.

Emergency2.PNG (4.33 KiB) Прегледано 614 пъти

Диагоналите [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex] на ромба са перпендикулярни. Отсечките [tex]MP[/tex] и [tex]MQ[/tex] също са перпендикулярни. Оттук следва, че ъглите [tex]\angle AMP=\angle BMQ[/tex]. И тъй като [tex]\angle APM=90^\circ =\angle BQM[/tex], то триъгълниците [tex]\Delta AMP\sim \Delta BMQ[/tex] - подобни по първи признак.

По условие [tex]AB=10[/tex]. Точката [tex]M[/tex] e среда на диагонала [tex]AC[/tex], следователно можем да я открием
[tex]x_M=\frac{x_A+x_C}{2 }=\frac{8+10}{2 } =9[/tex]

[tex]y_M=\frac{y_A+y_C}{2 }=\frac{-3+11}{2 } =4[/tex] (Чертежът е точен )
По Питагорова теорема за [tex]\Delta AMP[/tex] откриваме [tex]AM=\sqrt{50}[/tex].

Отново с Питагорова теорема, този път за [tex]\Delta ABM[/tex] откриваме [tex]BM=\sqrt{50}[/tex].
Приятна изненада! Подобните триъгълници, които обсъждахме по-горе, се оказа, че имат една двойка равни съответни страни [tex]MB=MA[/tex], което значи, че са еднакви!
[tex]\Delta AMP\simeq \Delta BMQ[/tex]

Така за координатите на [tex]B[/tex] получаваме, че са [tex]B(16;4)[/tex] . Веднага следва, че [tex]D(2;5)[/tex].

(Ако решението е необичайно за първокурсници, утре рано сутрин ще направим чисто аналитично решение - без чертеж. )

[krumbgf]

Аз получавам :
[tex]B(16;3)[/tex]
[tex]D(2;5)[/tex]

Мисля че бъркаш някъде, защото [tex]\vec{AC} (2,14)[/tex] и значи перпендикулярния [tex]\vec{BD} (14,-2)[/tex]

Аз го решавам така :
Диагоналите на ромба се разполовяват и са перпендикулярни. Следователно BD е симетрала на АC и за вска точка от BD е изпълнено че е на еднакви разстояния от А и от C и така намирам уравнението на BD :
[tex](x-8)^2+(y+3)^2 = (x-10)^2 + (y-11)^2[/tex] след разкриване на скоби и извършване на действията става :
[tex]x+7y -37 =0[/tex] сега изразваме x : [tex]x=37-7y[/tex]
И сега вече използваме, че търсиме точка на 10 от А и C :
[tex](x-8)^2+(y+3)^2 = 100 \Leftrightarrow 1369-518y+49y^2-592+112y+64+y^2+6y+9-100=0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]50y^2 - 400y + 750 =0[/tex]
И от там се получават [tex]y_{1}=3[/tex] и [tex]y_{2} = 5[/tex] и съответните им хиксове : [tex]x_{1} = 16[/tex] и
[tex]x_{2}=2[/tex]

2.png (20.46 KiB) Прегледано 613 пъти

1.png (20.29 KiB) Прегледано 613 пъти

[Knowledge Greedy]

...Мисля че бъркаш някъде, защото ...

Поздравления! Получили сме едно и също. Аз имам проста техническа грешка:)

...Така за координатите на [tex]B[/tex] получаваме, че са [tex]B(16;\cancel{4} 3)[/tex] . Веднага следва, че [tex]D(2;5)[/tex].
...

Ако резултатът ми за координатите на [tex]B[/tex] не е верен, как съм получил твоя отговор за [tex]D[/tex] ?
Може да бъде видяно и на чертежа - чертежът ми при това е точен.

[Knowledge Greedy]

Макар с колегата krumbgf да имаме вече две добри решения, за сутринта бях обещал още едно - по-близко по стил до първокурсниците с техния изпит по АГ. Ето го. Дано unfig го прочете.

I. Правата, съдържаща диагонала [tex]AC[/tex] има уравнение [tex]\frac{y+3}{ 11+3}= \frac{x-8}{ 10-8}\Leftrightarrow[/tex]
[tex]7x-y-59=0[/tex] [tex](\ast)[/tex]

II. Точката M e среда на диагонала AC, следователно можем да я открием
[tex]x_M=\frac{x_A+x_C}{2 }=\frac{8+10}{2 } =9[/tex]

[tex]y_M=\frac{y_A+y_C}{2 }=\frac{-3+11}{2 } =4[/tex]

III. Правата, съдържаща точката [tex]M[/tex] и диагонала [tex]BD[/tex], е перпендикулярна на [tex]AC[/tex], следователно има уравнение от вида
[tex]x-9+7(y-4)=0[/tex] - виж [tex](\ast)[/tex] и координатите на [tex]M[/tex].

[tex]BD: x+7y-37=0[/tex] [tex]\,\ (1)[/tex]

IV. По условие [tex]AB=10[/tex].
Ето защо окръжността [tex]\omega[/tex] с център [tex]A(8;-3)[/tex] и радиус [tex]r=10[/tex]
съдържа точката [tex]B[/tex], а също и точката [tex]D.[/tex]

[tex]\omega : (x-8)^2+(y+3)^2=100[/tex] [tex]\,\ (2)[/tex]

V. Решаваме системата [tex]\left|\begin{matrix}
x+7y-37=0 & & \\
(x-8)^2+(y+3)^2=100 & &
\end{matrix}\right.[/tex]
Веднага се виждат двойките решения
[tex]\left|\begin{matrix}
x=16 \\
y=3
\end{matrix}\right.[/tex] и [tex]\left|\begin{matrix}
x=2 \\
y=5
\end{matrix}\right.[/tex]
Следователно [tex]B(16;3)[/tex] и [tex]D(2;5)[/tex]
или
[tex]B(2;5)[/tex] и [tex]D(16;3)[/tex].