Не мога да се справя. Търся помощ

[silverday]

Здравейте. Не мога да се справя с тези две задачи. Ще има ли възможност някой да ми помогне за тяхили поне да ме насочи?
Благодаря предварително на всички

[Knowledge Greedy]

Задача 1.) Ще разгледам случая, когато медианата и височината са през един и същи връх. Нека това е върхът [tex]A[/tex]. Координатите на [tex]A[/tex] ще определим от системата.
[tex]\begin{array}{|l} 2x - 3y +12 = 0 \\ 2x + 3y = 0 \end{array}[/tex]
Решението и е
[tex]\begin{array}{|l} x =-3 \\ y = 2 \end{array} \,\ \Rightarrow \,\ A(-3;\,\ 2)[/tex]
В този момент вече можем да определим уравнението на правата [tex]AC[/tex].
Формулата е [tex]\frac{x-x_A}{x_C-x_A}=\frac{y-y_A}{y_C-y_A}[/tex] - за уравнение на права през две дадени точки.
След заместване
[tex]\frac{x+3}{4+3}=\frac{y-2}{-1-2}[/tex] и преобразуване, получаваме [tex]AC: 3x+7y-5=0[/tex]
Намирането координатите на върха [tex]B[/tex] ще направим след откриване на уравнението за [tex]BC[/tex].
Търсим уравнение от вида
[tex]BC: ax+by+c=0[/tex] - тук неизвестни са параметрите [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] и [tex]c[/tex].
Заместваме с координатите на точката [tex]C[/tex] в това уравнение
[tex]BC: 4a-b+c=0[/tex]
Втора зависимост ще получим от условието [tex]h \bot BC[/tex]
[tex]h: 2x - 3y +12 = 0 \,\ \Rightarrow \,\ a:b=3:2[/tex]
Без ограничение можем да считаме, че [tex]a=3k[/tex] и [tex]b=2k[/tex], и решавайки системата
[tex]\begin{array}{|l} 4a-b+c=0 \\ a:b=3:2 \end{array} \,\ \Rightarrow \,\ c=-10k[/tex]
Оттук (след съкращаване на [tex]k[/tex])
[tex]BC: 3x+2y-10=0[/tex]
Открихме правата върху която има една точка от медианата [tex]m[/tex] - средата [tex]M[/tex] на отсечката [tex]BC[/tex].
Пресичаме [tex]m[/tex] и [tex]BC[/tex] - решаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} 2x + 3y = 0 \\ 3x+2y-10=0 \end{array} \,\ \Leftrightarrow \,\ \begin{array}{|l} x = 6 \\ y = -4 \end{array}[/tex] и намираме [tex]M(6; \,\ -4)[/tex]
Координатите на [tex]B[/tex] са свързани с координатите на [tex]C[/tex] и с координатите на [tex]M[/tex] по следния начин
[tex]\begin{array}{|l} x_M = \frac{x_B+x_C}{2} \\ y_M = \frac{y_B+y_C}{2} \end{array}[/tex] (точката [tex]M[/tex] е средата на отсечката [tex]BC[/tex] )
Заместваме с известните [tex]\begin{array}{|l} 6= \frac{x_B+4}{2} \\ -4 = \frac{y_B-1}{2} \end{array}[/tex] и намираме [tex]B(13; -7)[/tex].
Остава намирането на уравнението на [tex]AB[/tex] - точно със същата формула, с която открихме както [tex]AC[/tex].
Аз получих [tex]AB: 9x+16y-5=0[/tex] (провери, така ли е )

Задача 2.) Макар и в пространството, но като количество детайли тази изглежда е по-проста.
Нека точка [tex]P(x,y,z)[/tex] e произволна точка от равнината [tex]\gamma[/tex].
По условие [tex]M(2,3,-1)[/tex] е от същата равнина, значи векторът [tex]\vec{MP} (x-2; y-3; z+1)[/tex] е от [tex]\gamma[/tex].

От условието [tex]\alpha: x-y+z-7=0 \,\ \Rightarrow \,\ \vec {n_\alpha}(1; -1;1 )[/tex]
От условието [tex]\beta: 3x+2y-12z+5=0 \,\ \Rightarrow \,\ \vec {n_\beta}(3; 2;-12 )[/tex]
- това са нормалните вектори на двете равнини.
По условие те трябва да са успоредни на равнината [tex]\gamma[/tex]
([tex]n\bot \alpha \bot \gamma \,\ \Rightarrow n||\gamma[/tex]),
следователно [tex]\vec{MP}(x-2; y-3; z+1)[/tex] , [tex]\vec {n_\alpha}(1; -1;1 )[/tex] и [tex]\vec {n_\beta}(3; 2;-12 )[/tex] са линейно зависими (от една равнина [tex]\gamma[/tex])
Записваме условието за това
[tex]\begin{vmatrix}
x-2 & y-3 & z+1 \\
1 & -1 & 1\\
3 & 2 & -12
\end{vmatrix}=0[/tex]
Развиваме детерминантата и получаваме [tex]\gamma: 2x+y-z=12[/tex]
Успех!