Уравнение на права в равнина - 2 задачи

[Гост]

1.Даден е триъгълник ABC с върхове A(−1, −2), B(3, −1), C(0, 4).
Да се намерят:
а)Ураваненията на страните на триъгълника ABC;
б)Уравнението на медианатаа през върха А;
в)уравнението на височината през върха А;

2.Даден е триъгълник ABC с върхове A(−4, 0), B(1, 0), C(1, 5).
Да се намерят:
а)Ъглите на триъгилника ABC;
б)Ъглополовящата при върха B на триъгълника ABC;
в)уравнението на описааната около триъгълника окръжност;

Много моля , ако някой може да реши тези 2 задачи подрообно! Благодаря предварително !!!

[Гост]

1.Даден е триъгълник ABC с върхове A(−1, −2), B(3, −1), C(0, 4).
Да се намерят:

а)Ураваненията на страните на триъгълника ABC;

Решение: По определение уравнение на права може да бъде намерено ако правата е определена от две точки:
[tex]M_{1 }(x_{1 },y_{1 })[/tex] и [tex]M_{2 }(x_{2 },y_{2 })[/tex] , където [tex]x_{1 },y_{1 }[/tex] и [tex]x_{2 },y_{2 }[/tex] са координатите на точките [tex]M_{1 }[/tex] и [tex]M_{2 }[/tex].
Тогава каноничното уравнение на правата има вида:
[tex]\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}[/tex]

Следователно: за точките [tex]A(-1, -2) , B(3, -1)[/tex]
имаме правата AB: [tex]\frac{x-(-1)}{3-(-1)}=\frac{y-(-2)}{-1-(-2)} \Rightarrow \frac{x+1}{4}=\frac{y+2}{1} \Rightarrow x+1=4y+8 \Rightarrow x-4y-7=0[/tex]


[tex]AB: x-4y-7=0[/tex] , аналогично намираме уравненията на правите BC и AC.
[tex]BC: 5x+3y-12=0[/tex]
[tex]AC: 6x-y+4=0[/tex]

б)Уравнението на медианатаа през върха А;

Решение:
Означаваме с M пресечната точка на медианата, спусната от върха A към страната BC
Известно е, че медианата разделя страната, към която е спусната на две равни отсечки.
По определение координатите на точка, която е среда на отсечка можем да намерим чрез формулата:
[tex]M ( \frac{x_{1}+x_{2}}{2} , \frac{y_{1}+y_{2}}{2} ) \Rightarrow M ( \frac{3+0}{2} , \frac{-1+4}{2} ) \Rightarrow M ( \frac{3}{2} , \frac{3}{2} )[/tex]

Разполагаме с координатите на [tex]A (−1, −2)[/tex] и [tex]M ( \frac{3}{2} , \frac{3}{2} )[/tex] и отново определяме уравнението на права, определена от две точки:
[tex]AM: 7x-5y-3=0[/tex]

в)уравнението на височината през върха А;

1. Построяваме височината[tex]AH[/tex].Известно е, че височината е перпендикулярна на страната, към която е спусната.
2. Вече сме определили уравнението на страната [tex]BC: 5x+3y-12=0[/tex]
3. Построяваме ортогонален на страната [tex]BC[/tex] вектор [tex]\vec{p}[/tex]. По определение, ортогонален вектор на права с общо уравнение [tex]Ax+By+C=0[/tex] има координати [tex]\vec{p} ( A, B )[/tex] т.е. [tex]\vec{p} ( 5, 3 )[/tex]

В случая построеният вектор [tex]\vec{p} ( 5, 3 )[/tex] е ортогонален (перпендикулярен) на правата [tex]BC: 5x+3y-12=0[/tex], и височината [tex]AH[/tex] е перпендикулярна на правата [tex]BC: 5x+3y-12=0[/tex]
Следователно правата [tex]AH[/tex] е успоредна на вектора [tex]\vec{p} ( 5, 3 )[/tex]
4. По определение можем да намерим уравнение на права, определена от точка и колинеарен вектор.

Определение: Дадени са права [tex]g[/tex] и две точки, които пренадлежат на правата: [tex]M_{0 }( x_{0}, y_{0} )[/tex] и [tex]M( x, y)[/tex]
и колинеарен (успореден) вектор [tex]\vec{p} ( a, b )[/tex].
Тогава каноничното уравнение на правата е: [tex]\frac{x-x_{0}}{а}=\frac{y-y_{0}}{b}[/tex]

В решението на задачата имаме дадено:
върха [tex]A (-1, -2)[/tex]
точката [tex]H[/tex] е пета на височината[tex]AH[/tex], полагаме точката [tex]H( x, y )[/tex]
успореден на правата [tex]AH[/tex] вектор [tex]\vec{p} ( 5, 3 )[/tex]

Получаваме уравнениена правата [tex]AH: \frac{x+1}{5}=\frac{y+2}{3} \Rightarrow 3x+3=5y+10 \Rightarrow 3x-5y-7=0[/tex]
[tex]AH: 3x-5y-7=0[/tex]