Задача от равнина и права

[Гост]

Здравейте, честит празник. Имам една задача която ме затруднява, ще я напиша ако може някой да ми помогне, благодаря.
През точка M (-3,2,5) са прекарани перпендикулярни прави на l1 и l2 към равнините [tex]alpha[/tex] : 4x +y - 3z +13=0 и beta : x-2y+z-11=0. Напишете уравнението на равнината gamma , определена от l1 и l2.

[Knowledge Greedy]

Здравейте, честит празник!

[tex]\alpha: 4x +y - 3z +13=0[/tex]
Това означава, че векторът [tex]\vec{a}(4, 1,-3)[/tex] перпендикулярен на [tex]\alpha[/tex] и е успореден на правата [tex]l_1[/tex] .

[tex]\beta : x-2y+z-11=0.[/tex]
Това означава, че векторът [tex]\vec{b}(1, -2, 1)[/tex] перпендикулярен на [tex]\beta[/tex] и е успореден на правата [tex]l_2[/tex] .

Да означим с [tex]P(x, y, z)[/tex] произволна точка от равнината [tex]\gamma[/tex].
С начало точката [tex]M (-3,2,5)[/tex] формираме вектор [tex]\vec{MP}(x+3, y-2, z-5)[/tex], който е компланарен на равнината [tex]\gamma[/tex].
Всеки такъв вектор е еднозначна линейна комбинация на векторите [tex]\vec{a}(4, 1,-3)[/tex] и [tex]\vec{b}(1, -2, 1)[/tex].

Да напишем уравнението на равнината [tex]\gamma[/tex] , определена от [tex]l_1[/tex] и [tex]l_2[/tex], минаваща през дадената точка [tex]M (-3,2,5)[/tex], означава да напишем уравнение - зависимост между координатите на [tex]P(x, y, z)[/tex].
[tex]\vec{MP}=k\vec{a}+m\vec{b}[/tex] - това е векторно-параметричното уравнение на равнината [tex]\gamma[/tex].
Системата от скаларните параметрични уравнения на равнината е [tex]\begin{array}{|l} x + 3 = 4k+m \\ y-2 = k-2m \\ z-5 = -3k+m \end{array}[/tex]
Изключвайки параметрите [tex]k[/tex] и [tex]m[/tex], получаваме общото уравнение на равнината [tex]\gamma[/tex]
[tex]5x+7y+3z-14=0[/tex]
__________
Запознатите с тази теория
(Виж линка оттук http://emaths.freewebspace.com/emathsbo ... eneral.htm
или този
https://www.matematika.bg/visha-matemat ... vnini.html)
трябва да знаят и технологично по-краткото извеждане на полученото общо уравнение
[tex]\begin{vmatrix}
x+3 & y-2 & z-5 \\
4 & 1 & -3 \\
1 & -2 & 1
\end{vmatrix}=0[/tex]

[Гост]

Благодаря още един път мен ме интересуваше дали по този начин може да се направи детерминантата от нормалните вектори на равнините.
Накрая само че свободния член е -44, казвам го защото ако някой друг реши да я гледа.