Аналитична геометрия5

[mariat]

Здравейте

[mariat]

трябва да се намери точката на пресичане система за a),а б) e ясна използва се точката, колинеарни вектори на правите, нормален вектор от тях и равнината е ясна

[ptj]

Подточка [tex]а.)[/tex] си я решила като някой 8-мо класник (без теория).

Знаеш, че [tex]\vec{v_1}(2;-3;4)\parallel g_1[/tex] , [tex]\vec{v_2}(3;2;-2)\parallel g_2[/tex], [tex]M_1(1;-2;5)\in g_1[/tex] , [tex]M_2(7;2;1)\in g_2[/tex].

Имаш си теорема за взаимното положение на две прави в пространството.
Според нея [tex]g_1[/tex] и [tex]g_2[/tex] са компланарни тогава и само тогава, когато смесеното произведение [tex]\big(\vec{M_1M_2};\vec{v_1}; \vec{v_2}\big)=0[/tex] , т.е.

[tex]\triangle_1=\begin{vmatrix} 7-1 & 2-(-2)& 1-5 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix}=0[/tex]


( Предполагам знаеш да смяташ детерминанти по правилото на триъгълника.)

б.) аналогично на а.)

Нека търсената равнина е [tex]\alpha[/tex].
Тогава [tex]\forall т.M(x,y,z) \in \alpha \Rightarrow \vec{MM_2} \in \alpha[/tex] , защото [tex]т.M_2 \in \alpha[/tex].
Съответно трите вектора [tex]\vec{MM_2},\vec{v_1},\vec{v_2}[/tex] са компланарни (защо).
Използваме споменатата по горе теорема и намираме:

[tex]\triangle_2=\begin{vmatrix} x-2 & y-(-2)& z-5 \\ 2 & -3 & 4 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix}=0[/tex]

Горното е матрично уравнение на равнина през точка, успоредна на 2 вектора.
С това задачата е решена. Ако се искаше общо уравнение за равнината щяхме да решим детерминантата и да получим полином от първа степен спрямо [tex]x,y,z[/tex] равен на нула.

[mariat]

Аз пробвах, но се получи
7-1 2-2 1-5
2 -3 4
3 2 -2
=-64
и реших да го карам по трудния начин...
Детерминанти нз какво е правило на триъгълник, смятам ги нормално, имаше и правило на Сарус
Благодаря.

[ptj]

При детерминанти 3X3

Правило на Сарус:

sar.png (3.4 KiB) Прегледано 461 пъти

Правило на триъгълника:

tr.png (4.04 KiB) Прегледано 461 пъти

За мен "Правило на триъгълника" е по-лесно за запомняне, защото с "+" са всички 3-ки успоредни на главния диагонал, а с "-" са 3-ките успоредните на обратния диагонал.

П.П. В детерминантата си объркала втория елемент в първия ред . Трябва да е [tex]2-(-2)[/tex], а ти си записала [tex]2-2[/tex].
Аз проверих резултата - получава се 0.

[mariat]

получи се наистина, в условието няма грешка, благодаря много, доказателство, че правите се пресичат:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cfrac%7B%5Cleft(x-1%5Cright)%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(y%2B2%5Cright)%7D%7B-3%7D%3D%5Cfrac%7Bz-5%7D%7B4%7D%3Dk,%5C:k%3D1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cfrac%7B%5Cleft(x-7%5Cright)%7D%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cleft(y-2%5Cright)%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7Bz-1%7D%7B-2%7D%3Dk,%5C:k%3D1
всяка от правите през две точки k=1,k=3, за да може да се начертаят в тая програма - вижда се, че разстоянето е нула... :

[mariat]

по-добре правите да се приведат в скаларно-параметричен вид иначе не се вижда

[mariat]

за точка б) е вярно това, което си написал

[mariat]

ето друга снимка