Задача за доказателство

[Гост]

Да се докаже, че отсечката, свързваща петите на височини в триъгълника, отсича триъгълник, подобен на дадения.

[Sup3rlum]

Screenshot_11.png (42.01 KiB) Прегледано 751 пъти

$\angle EAB = 90^\circ-\beta$ и $\angle DBA = 90^\circ-\alpha$
$\angle AFB = \angle DFE = \alpha + \beta \Rightarrow \angle EDF + \angle DEF = 180^\circ - \alpha -\beta$

За $\angle CDE = 90^\circ-\angle EDF$, и $\angle CED = 90^\circ-\angle DEF$

Като съберем двата ъгъла:
$\angle CED + \angle CDE = 90^\circ-\angle EDF + 90^\circ-\angle DEF$
$\angle CED + \angle CDE = 180^\circ-(180^\circ-\alpha-\beta)$
$\angle CED + \angle CDE = \alpha + \beta$

Имаме че трите ъгли на малкия са същите като на големия $\Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle CDE$

[Davids]

Можем и така:
$\triangle AEC \sim \triangle BDC$, понеже $\angle C$ е общ и триъгълниците са правоъгълни. Оттам и $\frac{CD}{BC} = \frac{CE}{AC} \Rightarrow$ по втори признак $\triangle ABC \sim \triangle EDC$, тъй като С отново е общ ъгъл и две по две страните са си пропорционални.