Четириъгълник

[Гост]

В ABCD АD=CD=2, [tex]\angle[/tex]A=75, [tex]\angle[/tex]C=135, [tex]\angle[/tex]D=60. Ако Е е средата на CD, да се намери ВЕ.

[Davids]

Chertej.png (16.33 KiB) Прегледано 294 пъти

Предвид ъглите, $\angle B$ остава прав. В такъв случай, ако спуснем $AC$, то ще получим равнобедрен триъгълник с ъгъл $60^{\circ}$, значи той е равностранен. Тогава $AC = 2$, а пък $\angle BAC = 15^{\circ}$.
$\Rightarrow BC = AC.sin\angle BAC = 2sin15^{\circ} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$

Остана да направим косинусова теорема за $\triangle EBC$:
$BE^2 = 1 + \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{2} - 2.1.\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}.cos135^{\circ} = 1 + 2 - \sqrt{3} + 2.\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}.\frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 2$
$\Rightarrow \boxed{BE = \sqrt{2}}$