Триъгълник

[Гост]

В [tex]\triangle[/tex]ABC D[tex]\in[/tex]AC, AB=CD и [tex]\angle[/tex]ABD=40. Да се намери [tex]\angle[/tex]CBD, ако той е два пъти по-малък от [tex]\angle[/tex]BAC.

[Davids]

Triangle.png (15.97 KiB) Прегледано 340 пъти

Правим две синусови теореми (за $\triangle ABD$ и за $\triangle CBD$):
[tex]\begin{array}{|l} \frac{m}{sin2x} = \frac{b}{sin[180 - (2x + 40)]} \\ \frac{m}{sin[180 - (3x + 40)]} = \frac{b}{sinx} \end{array}[/tex]

$\Rightarrow \frac{b}{m} = \frac{sin(2x + 40)}{sin2x} = \frac{sinx}{sin(3x + 40)}$
$\Rightarrow sin2xsinx = sin(3x + 40)sin(2x + 40)$

Развиваме двете страни по формулата $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta))$, умножаваме двете страни по 2 и получаваме:
$cosx - cos3x = cosx - cos(5x + 80)$
$\Rightarrow cos3x = cos(5x + 80)$

Имаме две решения: $x = -40$ и $x = -10$ градуса. Което означава, че този случай е невалиден и разглеждаме другите възможни разположения на $D$, където не е вътрешна за $AC$. Но сега ми накъсява времето, ще допиша после.

[Гост]

fjnfnfjn.PNG (37.62 KiB) Прегледано 304 пъти

https://www.youtube.com/watch?v=L-4XsDQYDi4