Правоъгълен Триъгълник

[Гост]

В [tex]\triangle[/tex]ABC ([tex]\angle[/tex]B=90) D[tex]\in[/tex]AC и AB=CD. Ако [tex]\angle[/tex]BAC:[tex]\angle[/tex]DBC=2:3, да се намери [tex]\angle[/tex]C.

[Davids]

Triangle2.png (12.58 KiB) Прегледано 315 пъти

Правим две синусови теореми, за $\triangle BDC$ и за $\triangle ABD$, според които:
[tex]\begin{array}{|l} \frac{y}{sin2x} = \frac{x}{sin(90 + x)} \\ \frac{y}{sin(90 - 2x)} = \frac{x}{sin3x} \end{array}[/tex]

$\Rightarrow \frac{sin2x}{cosx} = \frac{cos2x}{sin3x}$
$cosxcos2x = sin2xsin3x$

Развиваме по формулата за произведение от синус/косинус и получаваме:
$cosx + cos3x = cosx - cos5x$
$cos3x + cos5x = 0$

Правим формула за сбор от косинуси:
$2cos4xcosx = 0$

Т.е. имаме два възможни случая:
I) $cosx = 0 \Rightarrow x = 90^{\circ}$, което не е възможно
II) $cos4x = 0 \Rightarrow x = 22^{\circ}30'$ или $x = 67^{\circ}30'$, което е и нашето решение.

[Евва]

Може би греша,но аз получавам [tex]\angle[/tex]ВСА=45[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\triangle[/tex]АВС-равнобедрен и правоъгълен .

[peyo]

Може би греша,но аз получавам [tex]\angle[/tex]ВСА=45[tex]^\circ[/tex] т.е. [tex]\triangle[/tex]АВС-равнобедрен и правоъгълен .

45 е да.

triyg1.png (340.7 KiB) Прегледано 290 пъти

[Davids]

Ааами да, един ред съм изтървал накрая. Хубаво съм намерил х, но се търси $90° - 2x = 45°$ в случая... Което е отговорът на задачата