Максималното лице на триъгълник с полупериметър р

[Гост]

Да се намери максималното лице на триъгълник с полупериметър р.

[Sup3rlum]

Формулата за намиране на лице от 3-те страни и полупериметър (Хероновата формула):

$A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$A^2=p(p-a)(p-b)(p-c)$

За да максимизираме лицето, трябва да максимизираме $K=(p-a)(p-b)(p-c)$

Ако използваме, че $p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow c=2p-a-b$

Можем да заместим в горния израз и да превърнем във функция:

$K(x,y)=(p-x)(p-y)(x+y-p)$

От тук $\nabla K=(K_x,K_y)=\big[(y-p)(2x+y-2p),(x-p)(2y+x-2p)\big]=(0,0)$

$\begin{array}{|l} (y-p)(2x+y-2p)=0 \\ (x-p)(2y+x-2p)=0 \end{array}$

Решаваш, и излиза че, $y=x \rightarrow a=b=c$ т.е равностранен триъгълник с даден (полу)периметър има максималното лице, което спрямо $p$:

$A=\sqrt{p(p-a)^3}, a=\frac{2}{3}p\ \Rightarrow A=\sqrt{p\bigg(\frac{1}{3}p\bigg)^3}=\frac{p^2}{\sqrt{27}}$

[ptj]

Съшия резултат може да се получи чрез неравенство между средно аритметично и средно геометрично:

[tex]\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}\ge\sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]

[tex](p-a)(p-b)(p-c)\ge\frac{p^3}{3^3}[/tex]

[tex]\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}\ge\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}[/tex]

[tex]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\ge\frac{p^2}{3\sqrt{3}}[/tex]

Равенство се достига при [tex]p-a=p-b=p-c[/tex]

[Sup3rlum]

Съшия резултат може да се получи чрез неравенство между средно аритметично и средно геометрично:

[tex]\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}\ge\sqrt[3]{(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]

[tex](p-a)(p-b)(p-c)\ge\frac{p^3}{3^3}[/tex]

[tex]\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)}\ge\frac{p\sqrt{p}}{3\sqrt{3}}[/tex]

[tex]\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\ge\frac{p^2}{3\sqrt{3}}[/tex]

Равенство се достига при [tex]p-a=p-b=p-c[/tex]

Тук си объркал посоката на неравенството, след първия ред.

Иначе, да АМ-ГМ неравенството винаги помага по интересни начини