Лице на триъгълник координатите на върховете са от система

[Гост]

Да се намери лицето на триъгълника, координатите на чиито върхове са решенията на системата: [tex]\begin{array}{|l}4x^3+3x^2y+y^3=8\\2x^3-2x^2y+xy^3=1\end{array}[/tex]

[Knowledge Greedy]

Хомогенизираме
[tex]\begin{array}{|l} 4x^3 + 3x^2y+y^3 = 8 \\ 2x^3 -2x^2y+xy^2 = 1 \end{array}[/tex]
- второто умножаваме по [tex]8[/tex] и изваждаме.
Получаваме
[tex]12x^3 -19x^2y+8xy^2-y^3 = 0[/tex]
Делим на [tex]y^3[/tex] (явно [tex]y \ne 0[/tex])
[tex]12\frac{x^3}{y^3} -19\frac{x^2}{y^2}+8\frac{x}{y}-1 = 0[/tex]
Полагаме
[tex]\frac{x}{y} =t[/tex]
и решаваме полученото кубично уравнение
[tex]12t^3 -19t^2+8t-1 = 0[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}
t_1=1 \\ t_2=\frac{1}{3} \\ t_3=\frac{1}{4}



\end{matrix}\right.[/tex]
Те дават
[tex]\left\{\begin{matrix}
x=y \\ y=3x \\ y=4x

\end{matrix}\right.[/tex]

Следователно точките - върхове на триъгълника, са
[tex]A(1;1)[/tex], [tex]B\left (\frac{1}{\sqrt[3]{5}};\frac{3}{\sqrt[3]{5}} \right )[/tex] и [tex]C\left (\frac{1}{\sqrt[3]{10}};\frac{4}{\sqrt[3]{10}} \right )[/tex]

Остава да определим лицето.

[KOPMOPAH]

Лицето на $\triangle ABC:\ A (x_1, y_1),\ B(x_2, y_2),\ C(x_3, y_3)$ се получава:
$$S={\pm}\frac 12 \begin{vmatrix}x_1& y_1 &1~\\ x_2& y_2& 1~\\ x_3 &y_3& 1~ \end{vmatrix}={\pm}\frac 12 \begin{vmatrix}(x_2-x_1) &(y_2-y_1)\\ (x_3-x_1) &(y_3-y_1) \end{vmatrix}$$

Знакът се избира така, че $S \ge 0$.