Oбща допирателна на [tex]y^2=8x[/tex] и [tex]xy=-1[/tex]

[Гост]

У-е на oбщата допирателна на [tex]y^2=8x[/tex] и [tex]xy=-1[/tex] e?

[Knowledge Greedy]

Общата допирателна е с уравнение
[tex]y=x+2[/tex]

Допирните точки са:
[tex]T(2;4)[/tex] - с първата и [tex]Q(-1;1)[/tex] - с втората.

[Davids]

У-е на oбщата допирателна на [tex]y^2=8x[/tex] и [tex]xy=-1[/tex] e?

Да поясня отговора на колегата.
Имаме двете функции $y = \sqrt{8x}$ и $y = -\frac{1}{x}$ и търсим уравнение на права $y = ax + b$, която да има точно по една допирна точка с графиките на дадените функции. Тоест, правим система с две уравнения, за всяко от които искаме само по едно решение:
$\begin{array}{|l} ax + b = \sqrt{8x} \\ ax + b = -\frac{1}{x} \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{|l} a^2x^2 + (2ab - 8)x + b^2 = 0 \\ ax^2 + bx + 1 = 0 \end{array}$

За да имаме точно по едно решение на квадратните уравнения, хващаме дискриминантите и ги приравняваме на нула, т.е. получаваме системата:
$\begin{array}{|l} (2a - 8)^2 - 4a^2b^2 = 0 \\ b^2 - 4a = 0 \end{array}$

$\begin{array}{|l} ab = 2 \\ 4a = b^2 \end{array}$

И коефициентите стават очевидни: $a = 1; b = 2$ и правата ни е $y = x + 2$, допирните точки може да изкараш от уравненията с всяка друга функция вече