минимален периметър

[Гост]

какъв е минималният периметър на [tex]\triangle[/tex], ако 2 от страните му са върху координатните оси, a третата съдържа точката (1,2)

[Knowledge Greedy]

Нека точката [tex]A(x_A;0)[/tex] е от абсцисната ос, а точката [tex]B(0;y_B)[/tex] - от ординатната ос.
Правата [tex]AB[/tex] минава през точката [tex](1;2)[/tex], значи уравнението ѝ е
[tex]y-2=k(x-1)[/tex]
- като [tex]k<0[/tex] понеже

какъв е минималният периметър на △, ако две от страните му са върху координатните оси, a третата съдържа точката (1,2)

Замествайки последователно с [tex]x_B=0[/tex] и [tex]y_A=0[/tex], получаваме [tex]y_B=2-k[/tex]
и [tex]x_A=\frac{k-2}{k}[/tex]
Така за периметъра [tex]P_{\triangle}[/tex] на триъгълника [tex]\triangle ABO[/tex] получаваме
[tex]P_{\triangle}=OA+AB+BO[/tex]

[tex]P_{\triangle}=\frac{k-2}{k}+\sqrt{(k-2)^2+\left ( \frac{k-2}{k} \right )^2}+2-k[/tex]
Производната на получената функция се нулира при [tex]k=-\frac{4}{3}[/tex]
Установява се, че при тази стойност има локален екстремум, а той е и абсолютен
[tex]minP_{\triangle}(k)=P_{\triangle}\left (-\frac{4}{3} \right )=\frac{8}{3}+\frac{10}{3}+2=8[/tex],
за правата през [tex](1;2)[/tex] с уравнение [tex]y=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}[/tex]

Много по-красиво трябва да е чисто геометричното решение.

[Гост]

има някъде грешка-при [tex]k=-100,P\approx5[/tex]

[Гост]

zhghgkhg.PNG (16.53 KiB) Прегледано 439 пъти

[tex]P=b+2+1+a+\sqrt{(b+2)^{2}+(a+1)^{2}}[/tex]
[tex]BC=AB+AC=\sqrt{b^2+1}+\sqrt{a^2+4}=\sqrt{(b+2)^{2}+(a+1)^{2}}\Rightarrow (2-ab)^2=0\Rightarrow ab=2\Rightarrow a=2/b[/tex]
[tex]P'=0\Leftrightarrow 3b^3+8b^2-12b-16=0\Rightarrow b\approx 1.66\Rightarrow P_{min }\approx 7.1[/tex]

[Добромир Глухаров]

Използвам същия чертеж:

Минимален периметър.PNG (14.82 KiB) Прегледано 421 пъти

Означавам $\angle OCB=\alpha\in\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$

Периметърът е $P(\alpha)=3+tg\alpha+\frac{2}{tg\alpha}+\frac{1}{cos\alpha}+\frac{2}{sin\alpha}$

$\lim_{\alpha\to0+}P(\alpha)=\lim_{\alpha\to\frac{\pi}{2}-0}P(\alpha)=+\infty$

$\Rightarrow(\min_{\alpha\in(0;\frac{\pi}{2})}P(\alpha)=P(\alpha_0))\Rightarrow\alpha_0\in(0;\frac{\pi}{2});P'(\alpha_0)=0$

$P'(\alpha)=\frac{1}{cos^2\alpha}-\frac{2}{sin^2\alpha}+\frac{sin\alpha}{cos^2\alpha}-\frac{2cos\alpha}{sin^2\alpha}$

$P'(\alpha)=0\Rightarrow sin^2\alpha-2cos^2\alpha+sin^3\alpha-2cos^3\alpha=0$

Универсална субституция $tg\frac{\alpha}{2}=t\in(0;1)$

$\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}-2\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}+\frac{8t^3}{(1+t^2)^3}-2\frac{(1-t^2)^3}{(1+t^2)^3}=0$

След редица преобразувания стигам до: $(1+t)^2(2t-1)=0$

$t_{1,2}=-1\notin(0;1)$

$t_3=\frac{1}{2}\Rightarrow\alpha=2arctg\frac{1}{2}\approx53^\circ8'$

$P(t)=3+\frac{2t}{1-t^2}+\frac{1-t^2}{t}+\frac{1+t^2}{1-t^2}+\frac{1+t^2}{t}=3+\frac{(1+t)^2}{1-t^2}+\frac{2}{t}=3+\frac{1+t}{1-t}+\frac{2}{t}$

$P\left(\frac{1}{2}\right)=3+3+4=10$

[Гост]

...което показва, че и тук трябва да има грешка, кубичното у-е няма рационални корени и точен отговор може да се даде чрез радикали

[Гост]

по-горе написаното трябва да е [tex]P_{min }\approx 10[/tex] (малко над 10)

[Добромир Глухаров]

$\frac{4t^2}{(1+t^2)^2}-2\frac{(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}+\frac{8t^3}{(1+t^2)^3}-2\frac{(1-t^2)^3}{(1+t^2)^3}=0$

Привеждам под общ знаменател ( $1+t^2>0$ и можем да се освободим от общия знаменател ):

$4t^2(1+t^2)-2(1-t^2)^2(1+t^2)+8t^3-2(1-t^2)^3=0$

$4t^2(1+t^2)+4t^2.2t-2(1-t^2)^2(1+t^2)-2(1-t^2)^3=0$

$4t^2(1+t^2+2t)-2(1-t^2)^2(1+t^2+1-t^2)=0$

$4t^2(1+t)^2-4(1-t^2)^2=0$

$4t^2(1+t)^2-4((1-t)(1+t))^2=0$

$(1+t)^2(4t^2-4(1-t)^2)=0$

$t_{1,2}=-1$

$4t^2-4(1-2t+t^2)=0$

$4t^2-4+8t-4t^2=0$

$t_3=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

[Гост]

fdlkdmlg.PNG (14.05 KiB) Прегледано 358 пъти

И трите метода дават 10, ето и 4-ти:
У-ето на хипотенузата е [tex]x/a+y/b=1,a>1,b>2\Rightarrow 1/a+2/b=1\Rightarrow b=2a/(a-1)[/tex]
[tex]P=2a/(a-1)+a+(a/(a-1))\sqrt{4+(a-1)^{2}}\Rightarrow P'=0\Leftrightarrow 2a^{3}-9a^{2}+12a-5=0\Rightarrow a=5/2\Rightarrow P_{min }=10[/tex]

[Гост]

Много по-красиво трябва да е чисто геометричното решение.

Какво имаш предвид?