минимално разстояние

[Гост]

Две частици с начални положения [tex](a,0)[/tex] и [tex](0,b)[/tex] се движат съответно със скорости [tex]v_1[/tex] и [tex]v_2[/tex] по координатните оси в отрицателните им посоки. На какво минимално разстояние ще достигнат една от друга?

[Гост]

Вероятно a>0, b>0?

[Knowledge Greedy]

Вероятно a>0, b>0?

Не, отговорът по-долу показва, че получаването на минималното разстояние не зависи от това, какви са [tex]a[/tex] и [tex]b[/tex].

Законът за движението на първата частица - по оста [tex]Ox^{\rightarrow}[/tex]
[tex]x=a-v_1t[/tex]
Законът за движението на втората частица - по оста [tex]Oy^{\rightarrow}[/tex] е
[tex]y=b-v_2t[/tex]
Разстоянието между тях [tex]AB=\sqrt{x^2+y^2}[/tex]
Ясно е, че [tex]AB[/tex] ще достигне минималната си стойност точно когато функцията [tex]f(t)=x^2+y^2[/tex]
достигне своята минимална стойност.
[tex]f(t)=(a-v_1t)^2+(b-v_2t)^2 \,\ (\ast)[/tex]

В нормален вид
[tex]f(t)=(v_1^2+v_2^2)t^2-2(av_1+bv_2)t+a^2+b^2[/tex]
Коефициентът на квадратния тричлен пред [tex]t^2[/tex] е строго положителен, затова абсолютният екстремум ще бъде в точката [tex]t_0=\frac{av_1+bv_2}{v_1^2+v_2^2}[/tex]
и [tex]min \,\ f(t)=a^2+b^2-\frac{(av_1+bv_2)^2}{v_1^2+v_2^2}[/tex]

Следователно [tex]min \,\ AB =\sqrt{a^2+b^2-\frac{(av_1+bv_2)^2}{v_1^2+v_2^2}}[/tex]
и съществуването му е обезпечено при всяка стойност на участващите параметри, тъй като видът [tex](\ast)[/tex] показва, че квадратният тричлен от [tex]t[/tex] е с неположителна дискриминанта.

[Гост]

ако а<0 и b<0, точките ще се отдалечават и минималното разстояние ще е [tex]\sqrt{a^{2}+b^{2}}[/tex]

[Гост]

ако a<0, b>0 и [tex]v_1<v_2[/tex], точките ще се приближават
ако a>0, b<0 и [tex]v_1>v_2[/tex], точките ще се приближават
в другите случаи ще се отдалечават и минимумът ще е в изходните позиции

[Гост]

hghghj.PNG (37.21 KiB) Прегледано 283 пъти

При някое [tex]t[/tex] разстоянието става [tex]d_t=\sqrt{(a-v_1t)^{2}+(b-v_2t)^{2}}[/tex], което е разстоянието от точката [tex](a,b)[/tex] до правата в параметричен вид [tex](v_1t,v_2t)[/tex]:
[tex]x=v_1t, y=v_2t\Rightarrow \frac{y}{x}=\frac{v_2}{v_1}\Rightarrow v_2x-v_1y=0[/tex]
[tex]d=\frac{|v_2a-v_1b|}{\sqrt{v_2^{2}+v_1^{2}}}[/tex]

[Гост]

Само да поясня-[tex]d_t[/tex] е разстоянието от [tex](a,b)[/tex] до точки от правата [tex]y=\frac{v_2}{v_1}x[/tex], минималното разстояние е перпендикулярното разстояние и оттам този резултат.