майсторска задача

[Гост]

Двама майстори пренасят хоризонтално стълба по два коридора с широчини [tex]w_1[/tex] и [tex]w_2[/tex], които се срещат под прав ъгъл:

а) колко най-много може да бъде дължината на стълбата, за да премине безпрепятствено по двата коридора?
б) ако след това майсторите облягат стълбата на вертикална стена така, че тя сключва остър ъгъл [tex]\varphi=arccos\frac{4x+3y}{5}[/tex] с пода, където [tex](x,y)[/tex] е точка в първи квадрант, лежаща на единичната окръжност, а [tex]\varphi[/tex] е ъгълът, който лъчът от началото [tex](0,0)[/tex] и през точката [tex](x,y)[/tex] сключва с положителната посока на абсцисната ос, да се намери дължината на траекторията на средата на стълбата при плъзгането й надолу до хоризонтално положение върху пода при условие, че стълбата е дълга [tex]2h[/tex];
в) какво е уравнението на правата, която се допира до траекторията от б) и минава през средата на стълбата?

[Гост]

Открит е нов филологичен вид! Трисмислицата. Досега филолозите са изследвали само двусмислицата. Това е задача от майстори, относно майстори, за майстори.

[Гост]

hghgkhk.PNG (15.83 KiB) Прегледано 1436 пъти

б) Единичната окр. е [tex]x^{2}+y^{2}=1[/tex]
[tex]\cos\varphi=x=(4x+3y)/5\Rightarrow y=(1/3)x\Rightarrow \tan\varphi=1/3[/tex]

[Гост]

dfgg.PNG (33.34 KiB) Прегледано 1425 пъти

б) Траекторията е дъгата $MM'$ от окр. с център $(0,0)$ и радиус $r=h$, което става очевидно, като се построи медианата $OM$. До този резултат може да се дойде и така: ако $H(x,0)$ и $G(0,y)\Rightarrow x^{2}+y^{2}=4h^{2}$[tex]\Rightarrow \left(\frac{x}{2}\right)^{2}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2}=h^{2}\Rightarrow \left(\frac{x}{2},\frac{y}{2}\right)=M\in k(O,h)\Rightarrow {MM'}=h\cdot\arctan(1/3)[/tex];
в) [tex]\begin{array}{|l} y/x = 1/3 \\ x^{2} + y^{2} = 4h^{2} \end{array}\Rightarrow (x,y)=\left(\frac{3\sqrt{10}}{5}h,\frac{\sqrt{10}}{5}h\right)\Rightarrow M=\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}h,\frac{\sqrt{10}}{10}h\right)[/tex]

Правата е перпендикулярна на [tex]OM\Rightarrow k=-1/\tan \varphi=-3\Rightarrow \boxed{l:y-\frac{\sqrt{10}}{10}h=-3\left(x-\frac{3\sqrt{10}}{10}h\right)}[/tex]

[Гост]

a) [tex]\left(w_{1 }^{\frac{2}{3}}+w_{2 }^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}[/tex]

[Гост]

a) може да се оптимира, като се избере параметър [tex]\varphi[/tex]

owoiew.PNG (12.09 KiB) Прегледано 1194 пъти