лице на триъгълник

[Гост]

В триъгълника АВС с лице 1 АМ е медиана и АМ=ВС. Ъглополовящите на ъглите АМВ и АМС пресичат АВ и АС съответно в точките Д и Е. Да се намери лицето на триъгълника ДМЕ.

[Гост]

[tex]\frac{2}{9}[/tex]

[Гост]

Ясно

[S.B.]

Без заглавие (22).png (271.06 KiB) Прегледано 356 пъти

В триъгълника АВС с лице 1 АМ е медиана и АМ=ВС. Ъглополовящите на ъглите АМВ и АМС пресичат АВ и АС съответно в точките Д и Е. Да се намери лицето на триъгълника ДМЕ.

_________________________________________________________________________________________________________________

Разписвам за всички останали ,на които не им е ясно как се решава задачата "на ум" и се получава отговор [tex]\frac{2}{9}[/tex]
________________________________________________________________________________________________________________
$MD , ME $ са ъглополовящи на съседни ъгли $\Rightarrow \angle EMD = 90^\circ$ и $\triangle EMD$ е правоъгълен
$AM$ - медиана, $S_{ABC } = 1 \Rightarrow S_{ABM } = S_{ACM } = \frac{1}{2}$
$т.D $ принадлежи на ъглополовящата на $\angle AMB , DN \bot AM , DQ\bot BM \Rightarrow DN = DQ = h_{1 }$
Аналогично в $\triangle AMC \Rightarrow EK = EP = h_{2 }$
По условие $AM = BC \Rightarrow BM = \frac{AM}{2}$
$AM = 2x ,BM = MC = x$
$S_{AMB } = S_{ADM } + S_{BDM } = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2x.h_{1 }}{2} + \frac{x.h_{1 }}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow 3x.h_{1 } = 1 \Rightarrow h_{1 } = \frac{1}{3x}$
Аналогично за $\triangle AMC $ получаваме, $h_{2 } = \frac{1}{3x}$ или $\Rightarrow h_{1 } = h_{2 } = \frac{1}{3x}$
За $\triangle AMB \rightarrow S_{AMB } = \frac{AM.MB}{2}.sin\angle AMB = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2x.x}{2}.sin\varphi = \frac{1}{2} \Rightarrow x^{2}.sin\varphi = \frac{1}{2}$ (*)
От $\triangle DMQ \rightarrow \frac{DQ}{DM} = sin\frac{\varphi}{2} \Leftrightarrow\frac{h_{1 }}{l_{1 }} = sin\frac{\varphi}{2} \Rightarrow l_{1 } = \frac{h_{1 }}{sin\frac{\varphi}{2}}\Rightarrow l_{1 } = \frac{1}{3x.sin\frac{\varphi}{2}}$
Аналогично от $\triangle MEP \Rightarrow l_{2 } = \frac{1}{3x.sin(90^\circ - \frac{\varphi}{2})}\Rightarrow l_{2 } = \frac{1}{3x.cos\frac{\varphi}{2}}$
$S_{EMD } = \frac{l_{1 }.l_{2 }}{2} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3x.sin\frac{\varphi}{2}}.\frac{1}{3x.cos\frac{\varphi}{2}} =\frac{1}{9x^{2}.2.sin\frac{\varphi}{2}.cos\frac{\varphi}{2}} = \frac{1}{9.x^{2}.sin\varphi} $
Но от (*) получихме,че $x^{2}.sin\varphi = \frac{1}{2}$, заместваме и получаваме отговора , който нашият много талантлив ГОСТ пресмята "на ум" !
$$S_{MED } = \frac{2}{9}$$

[Гост]

wwwww.PNG (49.48 KiB) Прегледано 320 пъти

[tex]\underbrace{\frac{AE}{EC}=2=\frac{AD}{DB}}_{\text ED\parallel BC\Rightarrow\frac{AO}{OM}=2}\Rightarrow S_{EMD}=2S_{OMD}=2\cdot\frac{1}{3}S_{AMD}=2\frac{1}{3}\frac{2}{3}S_{AMB}=\cancel{2}\frac{1}{3}\frac{2}{3}\frac{1}{\cancel{2}}S_{ABC}=\frac{2}{9}[/tex]