Три точки в равнината

[Гост]

Три различни точки с целочислени координати лежат в равнината върху окръжност с радиус [tex]R[/tex]. Докажете, че разстоянието между две от тези точки е по-голямо от [tex]\sqrt[3]{R}[/tex].

[Гост]

terrt.PNG (371.86 KiB) Прегледано 800 пъти

[tex]S_{ABC}=\frac{abc}{4R};d:=\max(a,b,c)\Rightarrow \frac{d^{3}}{4R}\ge \frac{abc}{4R}=S;S=\pm\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
x_1&y_1&1\\
x_2&y_2&1\\
x_3&y_3&1
\end{vmatrix}\Rightarrow 2S\in \mathbb{Z}\Rightarrow S\ge \frac{1}{2}\Rightarrow d^{3}\ge 2R\Rightarrow d\ge \sqrt[3]{2R}>\sqrt[3]{R}[/tex]

[peyo]

Хм. Интересно защо целочислени координати?! Твърдението вероятно е вярно за всякакви триъгълници. Да видим.

За всякакви триъгълници в най-лошия случай 3-те точки ще бъдат раазположени в равностранен триъгълник и най-дългото разстояние между две ще бъде $а$:

[tex]a = \sqrt{3}R[/tex]

Тогава търсим за кои R ще е в сила:
[tex]\sqrt{3}R > \sqrt[3]{R}[/tex]

[tex]\sqrt{3}^3R^3 > R[/tex]
[tex]R^2 > \frac{1}{\sqrt{3}^3}[/tex]
[tex]R^2 > \sqrt{\frac{1}{\sqrt{3}^3}}[/tex]
$R > 0.43869133765083085$

Така за всякакви $R > 0.43869133765083085$ условието на задачата ще бъде изпълнено. Но да се върнем на целочислените координати.

С радиус 0.43869133765083085 няма как да направим окръжност която да мине през 3 точки с челочислени координати. Което решава и задачата.

[pal702004]

Peyo, една хорда може да е колкото си иска къса. Независимо колко е радиуса.
Да помислим...

[peyo]

Peyo, една хорда може да е колкото си иска къса. Независимо колко е радиуса.
Да помислим...

Аха. Ако разглеждаме всякакви триъгълници (не само челочислени) радиуса може да бъде много голям, а и 3-те страни много малки. Ок, решението ми е грешно.