Четириъгълник

[Гост]

В АВСD [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]BAD=90, AB=BC=1, AD=2. Описаната около АВС окръжност пресича АD и ВD съответно в Е и F. Ако АF и СD се пресичат в G, да се намери ЕG.

[S.B.]

Без заглавие (44).png (318.39 KiB) Прегледано 498 пъти

В АВСD [tex]\angle[/tex]ABC=[tex]\angle[/tex]BAD=90, AB=BC=1, AD=2. Описаната около АВС окръжност пресича АD и ВD съответно в Е и F. Ако АF и СD се пресичат в G, да се намери ЕG.

Окръжността пресича [tex]AD[/tex] в т. $E$, тогава $ABCE$ е вписан и понеже $\angle ABC = 90^\circ \Rightarrow \angle AEC = 90^\circ$
Имаме три прави ъгъла $\Rightarrow ABCE$ е правоъгълник,нo имаме и 2 съседни равни страни $AB = BC = 1$
$ \Rightarrow ABCE$ е квадрат със страна $= 1$
$AD = 2,AE = 1 \Rightarrow т. E$ е среда на $AD$
Нека $\angle CAF = \varphi \Rightarrow д.FC = 2\varphi$
$\angle FAE = \angle CAE - \varphi = 45^\circ - \varphi \Rightarrow д. EF = 90^\circ - 2\varphi$
$д.AE = 90^\circ$
$\angle EGA = \frac{д.AE - д.EF}{2} = \frac{90^\circ - (90^\circ - 2\varphi)}{2} = \frac{2\varphi}{2} = \varphi$
Получих,че $\angle EGA = \angle CAF = \varphi$
Но те са кръстни ъгли получени при пресичането на правите $EG$ и $AC$ с $AG$
$\Rightarrow EG || AC$
В $\triangle ACD \rightarrow т.E$ е среда на $AD$ , $EG|| AC \Rightarrow т. G$ е среда на $DC$
$\Rightarrow EG$ е средна отсечка и $EG = \frac{AC}{2}$
$AC$ е диагонал в квадрата $\Rightarrow AC = \sqrt{2} \Rightarrow$ $$EG = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

[Гост]

ffergerg.PNG (43.93 KiB) Прегледано 450 пъти

https://www.youtube.com/watch?v=cBnYZmg7Qfw&t=465s