Сфера

[Гост]

В четириизмерното пространство е дадена сферата [tex]S_3: x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=r^{2}[/tex]. Какъв е триизмерният обем на [tex]S_3?[/tex] Какъв е четириизмерният обем на вътрешността на [tex]S_3?[/tex]

[Гост]

Виж теория на мярката.

[Гост]

Виж теория на мярката.

[grav]

https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere#Volume_and_surface_area

[Гост]

Принципът е същият, както при триизмерния случай, само че тук сеченията с хиперравнини са триизмерни сфери, които се интегрират.

[Гост]

Така например, хиперравнина, перпендикулярна на оста Ох и на разстояние x от началото О, ще пресече хиперсферата в сфера с радиус [tex]\sqrt{r^{2}-x^{2}}[/tex]. Четириизмерният обем става [tex]\int\limits_{-r}^{r}\frac{4\pi}{3}\sqrt{r^{2}-x^{2}}^{3}dx=\frac{\pi^{2}r^{4}}{2}[/tex]. Триизмерният обем на повърхността е производната [tex]2\pi^{2}r^{3}[/tex].