Уравнение на страните на △ и ∡

[Гост]

Да се намерят уравненията на страните на триъгълника △ ABC и cos (∠BAC),
ако координатите на върха B са (2; -7),
уравнението на височината през върха A е h[tex]\alpha[/tex] : 3x + y + 11 = 0
и уравнението на медианата през върха C е m\gamma : x + 2y + 7 = 0

[KOPMOPAH]

Уравнение на страните.png (16.6 KiB) Прегледано 444 пъти

$1.$ Щом са дадени координатите на върха $B$, построяваме правата $a_1$, минаваща през $B$ и перпендикулярна на $h_a$
Скрит текст: покажи
Условието за перпендикулярност на две прави, зададени във вида вида $y=k_1x+b_1$, $y=k_2x+b_2$ изглежда така:
$$k_1.k_2=-1$$
При правилно заместване трябва да се получи $a_1:-x+3y+23=0$

$2.$ Върхът $C$ е пресечената точка на $a_1$ и $m_{\gamma}$, значи трябва да се състави системата:$$\begin{array}{|l} -x+3y+23=0 \\ x + 2y + 7 = 0 \end{array}$$Решенията $(5, -6)$ са координатите на $C$;

$3.$ Правата $a_1$ пресича правата $h_{\alpha}$ в т.$F$, значи трябва да се състави системата:$$\begin{array}{|l} -x+3y+23=0 \\ 3x + y + 11 = 0 \end{array}$$Решенията $(-1, -8)$ са координатите на $F$;

$4.$ Тъй като $\triangle AFB$ е правоъгълен, трябва да намерим пресечената точка на уравнението на медианата $m_{\gamma}$ и на симетралата на $FB$, защото $DC_1$ се явява средна отсечка в $\triangle AFB$
Уравнението на симетралата $-3x-y-6=0$ се намира, като се намери средата $D$ на $FB$ и се прекара перпендикулярна линия.
Координатите на пресечената точка $C_1$ $(-1;-3)$ са решенията на системата:$$\begin{array}{|l} -3x-y-6=0 \\ x + 2y + 7 = 0 \end{array}$$
$5.$ Намирайки т.$C_1$ построяваме правата $c_1$ като права, минаваща през две точки. След преработка се получава $c_1:-4x-3y-13=0$. Тя пресича височината $h_{\alpha}$ в т.$A$, следователно се съставя и решава системата:$$\begin{array}{|l}-4x-3y-13=0\\ 3x + y + 11 = 0 \end{array}$$откъдето $A(-4;1)$.

Върховете са намерени. Страните се намират по формулата:$$z= \displaystyle \sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2},$$където $(x_1,y_1)$ са координатите на единия връх, а $(x_2,y_2)$ - на другия. За намиране на косинуса на $\measuredangle BAC$ най-подходяща е Косинусова теорема